[논문 리뷰] Non-local boundary value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional differential operators

Erkinjon Karimov, Bakhodirjon Toshtemirov|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 24.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 직사각형 영역 내에서 이종형 편미분방정식과 이중순서 힐러 분수도함수를 포함하는 비국소 경계값 문제의 해가 존재하고 유일한지 조사한다. 고유함수 전개와 볼테라 적분방정식으로의 환원을 통해, 해의 존재성과 급수해의 균일수렴성을 보장하는 데이터에 대한 충분조건을 도출한다. 이는 위에르슈트라스 M-검사에 기반한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a nonlocal boundary-value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional derivative in a rectangular domain. The main target of this work is to analyze the uniqueness and the existence of the solution of the considered problem by means of eigenfunctions. Moreover, we construct the solution of the ordinary fractional differential equation with the right-sided bi-ordinal Hilfer derivative by the method of reduction to the Volterra integral equation. Then, we present sufficient conditions for given data in order to show the existence of the solution.

연구 동기 및 목표

• 비국소 경계값 문제에 대한 이종형 방정식과 이중순서 힐러 분수도함수를 포함하는 해의 존재성과 유일성을 분석한다.
• 리만-리오빌 및 카푸토 도함수를 일반화하는 이중순서 힐러 연산자를 통합함으로써 분수도함수 이론을 확장한다.
• 해의 정칙성과 수렴성을 보장하는 주어진 자료(소스 함수, 초기 조건, 비국소 조건)에 대한 충분조건을 확립한다.
• 해의 급수 표현과 그 도함수들의 수렴성을 위에르슈트라스 M-검사를 통해 보여준다.

제안 방법

• 문제는 파라볼릭 및 하이퍼볼릭 부분을 포함하는 혼합 영역 Ω = Ω₁ ∪ Ω₂ ∪ AB에서 제시되며, 좌측 및 우측 기반 이중순서 힐러 분수도함수로 제어된다.
• 공간 변수에 대한 고유함수 전개를 통해 해를 구성함으로써, 편미분방정식은 상미분 분수도함수 방정식의 체계로 환원된다.
• 우측 기반 이중순서 힐러 도함수를 포함하는 상미분 분수도함수 방정식은 볼테라 적분방정식의 제2종으로 환원된다.
• 급수해의 수렴성은 위에르슈트라스 M-검사를 통해 증명되며, 미탈레프러 함수와 도함수의 L² 노름에서 유도된 경계에 의존한다.
• 해의 계수를 ψ(x), f(x,t) 및 그 도함수의 푸리에 계수로 표현함으로써 자료에 대한 충분조건가 도출된다.
• 혼합형 경계에서의 연속성 조건을 확보하기 위해, 해의 분수적 적분이 경계를 넘어서도 연속성을 유지하도록 인터페이스 t=0에서 공액 조건이 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중순서 힐러 분수도함수를 포함하는 이종형 방정식에 대한 비국소 경계값 문제가 어떤 조건에서 유일한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 직사각형 영역 내에서 해가 균일수렴하는 급수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 고유함수 전개와 볼테라 적분방정식은 해의 존재성과 유일성 증명에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 자료(ψ(x), f(x,t))의 정규성 및 적분 가능성 조건은 해의 매끄러움성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 해의 유계성과 연속성을 보장하기 위해 소스 함수와 비국소 자료에 대해 정확히 어떤 충분조건이 필요한가?

주요 결과

• Δₙ ≠ 0, ψ(x) ∈ C[0,l] ∩ C⁴(0,l) 이며 ψ(0)=ψ(l)=0, ψ''(0)=ψ''(l)=0, ψ⁽⁴⁾(0)=ψ⁽⁴⁾(l)=0, 그리고 ψ⁽⁵⁾(x) ∈ L₂(0,l) 인 조건에서 해가 존재하고 유일하다.
• 소스 함수 f(x,t)는 f(0,t)=f(l,t)=0, fₓₓ(0,t)=fₓₓ(l,t)=0, f(x,t) ∈ C[0,l]×[-T,T] ∩ C²,¹(0,l)×(-T,T), 그리고 fₓ⁽³⁾(·,t) ∈ L₂(0,l) 를 만족해야 한다.
• uₓₓ(x,t)의 급수 표현은 위에르슈트라스 M-검사와 미탈레프러 함수의 경계에 의해 Ω₁ ∪ Ω₂에서 균일수렴한다.
• D₀₊⁽ᵃ¹,ᵇ¹⁾ᵘ¹u 및 D₀₋⁽ᵃ²,ᵇ²⁾ᵘ²u의 급수 역시 uₓₓ와 동일한 논리에 따라 균일수렴한다.
• 계수 νₙ, φₙ, τₙ은 ψ(x) 및 f(x,t)의 푸리에 계수로 명시적으로 표현되며, νₙ은 Δₙ의 역수와 도함수의 L₂ 노름을 포함한다.
• 파르세발 항등식과 부등식 2|1/Δₙ√λₙ ψ₅ₙ| ≤ 1/Δₙ²λₙ + |ψ₅ₙ|²이 사용되어 급수의 경계를 설정하고 수렴성을 보장한다.