[논문 리뷰] Non local branching Brownians with annihilation and free boundary problems

Anna De Masi, Pablo A. Ferrari외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공간에서 랜덤하게 분열하는 비국소적 분열 브라운 운동과 함께 영구 퇴출을 고려하는 모델을 연구한다. 여기서 입자는 공간에서 랜덤하게 분열하고, 항상 가장 왼쪽에 있는 입자를 제거함으로써 고정된 인구 수를 유지한다. 본 논문은 질량 이동 기반의 더 강한 위상에서 자유 경계 문제로의 유체역학적 극한을 확립하며, 수렴 속도를 명시적으로 도출한다. 이는 이전의 국소적 분열 및 입자 시스템에서의 비국소적 확산 연구를 확장한 것이다.

ABSTRACT

We study a system of branching Brownian motions on $\mathbb R$ with annihilation: at each branching time a new particle is created and the leftmost one is deleted. In [7] it has been studied the case of strictly local creations (the new particle is put exactly at the same position of the branching particle), in [10] instead the position $y$ of the new particle has a distribution $p(x,y)dy$, $x$ the position of the branching particle, however particles in between branching times do not move. In this paper we consider Brownian motions as in [7] and non local branching as in [10] and prove convergence in the continuum limit (when the number $N$ of particles diverges) to a limit density which satisfies a free boundary problem when this has classical solutions, local in time existence of classical solution has been proved recently in [13]. We use in the convergence a stronger topology than in [7] and [10] and have explicit bounds on the rate of convergence.

연구 동기 및 목표

• 입자가 공간에서 랜덤하게 생성되는 비국소적 분열을 포함하면서도 브라운 운동 역학을 유지하는 기존의 분열 브라운 운동과 함께 영구 퇴출 모델을 확장한다.
• 입자 시스템의 유체역학적 극한이 연속 자유 경계 문제로 수렴함을 증명하며, 이전 연구들과는 달리 더 강한 위상에서 수렴을 확보한다.
• 한정된 밀도로의 수렴 속도에 대해 명시적이고 정량적인 경계를 제공함으로써 기존 문헌의 결과를 향상시킨다.
• 입자 시스템의 가장자리(가장 왼쪽에 있는 입자)가 단조롭게 움직이지 않기 때문에 고전적 스테파인형 문제로의 환원이 불가능한 문제에 대응한다.
• 입자 역학을 제어하고 유체역학적 극한에서의 코herence를 확보하기 위해 확률적 바리에이션(상한 및 하한 과정)을 개발하고 적용한다.

제안 방법

• 입자 시스템을 $ \mathbb{R} $ 상의 $ N $개 입자로 모델링하며, 각 입자는 독립적인 브라운 운동을 하며, 분열률이 1인 상태에서 부모의 위치 $ x $ 에서 밀도 $ p(x,y) $ 를 가진 위치 $ y $ 에 새로운 입자를 생성한다.
• 퇴출 규칙을 도입: 분열이 발생한 직후, 항상 가장 왼쪽에 있는 입자(최소 위치)를 제거하여 입자 수를 일정하게 유지한다.
• 이전 연구들과는 달리 더 강한 위상—질량 이동(Wasserstein 유사) 거리 기반 위상—을 사용하여 입자 시스템의 경험적 측도와 한계 밀도를 비교한다.
• 입자 시스템의 진화를 제어하고 유체역학적 극한에서의 코herence를 보장하기 위해 확률적 상한 및 하한 바리에이션 $ \underline{x}^{\delta,\pm}(t) $ 를 구축한다.
• 대규모 편차 추정 및 모멘트 경계(예: $ \mathbb{E}[n(T)^k] $) 를 적용하여 시간이 지남에 따라 분열 사건의 수와 입자 위치를 제어한다.
• 경험적 측도가 식 (1.1)과 (1.2)로 정의된 자유 경계 문제의 해로 수렴함을 증명하며, 부등식 (A.3)–(A.4) 및 (A.6)–(A.12) 를 통해 명시적인 오차 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 분열(비국소적 위치에서 새로운 입자가 생성됨)이 분열 브라운 운동과 함께 영구 퇴출이 일어나는 시스템의 유체역학적 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 이전 연구들보다 더 강한 위상에서 유체역학적 극한을 확립할 수 있으며, 이는 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 한계 자유 경계 문제의 성격은 무엇이며, 고전적 스테파인 문제나 파동 이동 문제와 어떻게 다를까?
• RQ4 확률적 바리에이션을 어떻게 활용하여 입자 수와 위치를 제어함으로써 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 입자 시스템이 연속 극한으로 수렴하는 속도에 대해 어떤 정량적 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 초기 밀도 $ \rho_0 $ 와 커널 $ p(x,y) $ 에 대한 가정 하에, 입자 시스템은 법적으로 한계 밀도로 수렴하며, 이는 식 (1.1)과 (1.2)로 정의된 자유 경계 문제를 만족한다.
• 이전 연구들 [7]과 [10]보다 더 강한 위상—질량 이동 기반 위상—을 사용하여 수렴을 확립하였으며, 이는 수렴 속도에 대한 명시적 정량적 경계를 가능하게 한다.
• 명시적 오차 경계를 도출: 임의의 간격 $ I $ 에 대해, 경험적 측도가 한계값으로부터 $ N^{\alpha_1} $ 이상 벗어나는 확률은 $ cN^{1-2\alpha_1} $ 이하로 유계이다. 이는 식 (A.3) 및 (A.4) 와 일치한다.
• 높은 확률( $ 1 - c_{b,T}N^{-1} $ 초과)로, 모든 입자는 $ t \in [0,T] $ 동안 $ [-N^b, N^b] $ 내에 머물러 있으며, 이는 정리 A.3 및 추론 A.4 에서 보여진다.
• 시스템의 가장자리(가장 왼쪽에 있는 입자)는 단조롭게 움직이지 않으며, 이는 고전적 스테파인 문제로의 환원을 불가능하게 하며, 새로운 분석 기법이 필요하다.
• 기준 과정과의 쌍화를 통해 구성된 확률적 바리에이션 $ \underline{x}^{\delta,\pm}(t) $ 의 사용은 입자 위치의 엄격한 제어를 가능하게 하며, 수렴 증명을 뒷받침한다.