[논문 리뷰] Non-Noether symmetries in Hamiltonian Dynamical Systems

George Chavchanidze|ArXiv.org|2004. 05. 03.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 42인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 시스템에서 비노이터 대칭과 보존 법칙, 적분 가능성 구조 사이의 기하학적 프레임워크를 수립한다. 비노이터 대칭이 자연스럽게 라플라스 쌍, 이해밀턴 형식, 이중복합체를 생성함을 보이며, 관련 보존 양의 임의성 조건을 보장하는 양-바크서 유형의 방정식을 도입한다. 이는 토다 사슬과 KdV 방정식과 같은 적분 가능 모델에 적용된다.

ABSTRACT

We discuss geometric properties of non-Noether symmetries and their possible applications in integrable Hamiltonian systems. Correspondence between non-Noether symmetries and conservation laws is revisited. It is shown that in regular Hamiltonian systems such a symmetries canonically lead to a Lax pairs on the algebra of linear operators on cotangent bundle over the phase space. Relationship between the non-Noether symmetries and other wide spread geometric methods of generating conservation laws such as bi-Hamiltonian formalism, bidifferential calculi and Frolicher-Nijenhuis geometry is considered. It is proved that the integrals of motion associated with the continuous non-Noether symmetry are in involution whenever the generator of the symmetry satisfies a certain Yang-Baxter type equation. Action of one-parameter group of symmetry on algebra of integrals of motion is studied and involutivity of group orbits is discussed. Hidden non-Noether symmetries of Toda chain, nonlinear Schrodinger equation, Korteweg-de Vries equations, Benney system, nonlinear water wave equations and Broer-Kaup system are revealed and discussed.

연구 동기 및 목표

• 노이터 정리의 초월적 기하학적 역할을 비노이터 대칭이 해밀턴 시스템에서 어떻게 수행하는지 명확히 하기 위해.
• 정규 해밀턴 시스템에서 비노이터 대칭과 보존 법칙 사이의 대응관계를 수립하기 위해.
• 비노이터 대칭을 라플라스 쌍, 이해밀턴 형식, 이중복합체와 같은 핵심 적분 가능성 구조와 통합하기 위해.
• 비노이터 대칭에 의해 생성된 보존 양의 임의성 조건을 보장하는 충분조건—양-바크서 유형의 방정식을 통해 유도하기 위해.
• KdV, 비선형 슈뢰딩거 방정식, 벤니 방정식과 같은 주요 적분 가능 시스템에서 숨겨진 비노이터 대칭을 드러내기 위해.

제안 방법

• 비노이터 대칭과 보존 법칙에 관한 루츠키의 정리를 비벡터 장과 푸아송 구조를 사용하여 재구성한다.
• 푸아송 비벡터와 대칭 생성자로부터 코타angent(bundle) 위에 라플라스 쌍을 구성한다.
• 비노이터 대칭 생성자와 관련된 양-바크서 유형의 방정식을 도입하여 보존 양의 임의성 보장을 보장한다.
• 리 미분을 사용하여 하나의 비노이터 대칭으로부터 무한한 보존 법칙의 수열을 생성한다.
• 푸아송 비벡터의 변형을 통해 비노이터 대칭과 이해밀턴 형식 사이의 대응관계를 수립한다.
• 대칭으로부터 특수한 이중복합체를 구성하여, 무한차원 설정에서의 드 라함 복합체를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비노이터 대칭은 정규 해밀턴 시스템에서 어떻게 보존 법칙을 생성하는가?
• RQ2 비노이터 대칭과 자연스럽게 관련된 기하학적 구조—예를 들어 라플라스 쌍, 이해밀턴 시스템, 또는 이중복합체—는 무엇인가?
• RQ3 비노이터 대칭에 의해 생성된 보존 양의 집합이 언제 임의성 조건을 만족하는가?
• RQ4 비노이터 대칭을 사용하여 기존의 이해밀턴 계층과 같은 알려진 적분 가능성 구조를 재구성하거나 설명할 수 있는가?
• RQ5 비노이터 대칭은 KdV나 벤니 계층과 같은 무한차원 적분 가능 시스템에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 비노이터 대칭은 푸아송 비벡터와 대칭 생성자로부터 코타angent(bundle) 위에 자연스럽게 라플라스 쌍을 생성한다.
• 비노이터 대칭에 의해 생성된 보존 양은 대칭 생성자가 특정한 양-바크서 유형의 방정식을 만족할 경우 임의성 조건을 만족한다.
• 벤니 시스템의 대칭 (15)는 반복적인 리 미분을 통해 무한한 보존 양의 수열을 생성한다: $ J^{(0)} = \int w\,dx $, $ J^{(1)} = 2\int v\,dx $, $ J^{(2)} = 8\int u\,dx $, 등등.
• 동일한 대칭은 푸아송 비벡터 $ W $ 의 리 미분을 통해 벤니 시스템에 대한 이해밀턴 형식을 생성한다: $ \hat{W} = [E, W] $.
• 벤니 시스템의 보존 법칙은 1-형식 $ s $ 가 $ E = W(s) $ 를 만족하고, $ [W[W(s),W](s)] = \frac{1}{2}[W(s),W](s) $ 를 만족함으로써 임의성 조건을 보장하므로, 이는 정리 8의 임의성 조건을 만족한다.
• 비노이터 대칭이 프뢰리히러-니헨하이즈 연산자와 이중복합체 구조를 뒷받침함을 보이며, 이러한 기하학적 대상들이 적분 가능 시스템 내의 숨겨진 대칭에서 유래할 수 있음을 시사한다.