[논문 리뷰] Non-normal purely log terminal centres in characteristic $p \geq 3$

Fabio Bernasconi|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 소수 $p \geq 3$ 에 대해, 코다이라 퇴적의 위반을 일으키는 토타로의 파노 다양체를 사용하여, 차원 $2p+2$ 의 순수하게 로그 단순 특이점 쌍 $(Z, S)$ 를 구성한다. 이 쌍에서 $S$ 는 비정규적인 plt 중심을 갖는다. 주요 기여는 양의 특성에서 plt 중심이 반드시 정규가 아니라는 것을 증명함으로써, 특성 0에서의 성질을 반박하고, 이 설정에서 하콘-마크 케르난의 레디언트 레이저 레지멘트의 실패를 보여주는 것이다.

ABSTRACT

In this note we show, building on a recent work of Totaro, that for every prime number $p \geq 3$ there exists a purely log terminal pair $(Z,S)$ of dimension $2p+2$ whose plt centre $S$ is not normal.

연구 동기 및 목표

• 특성 0에서 그렇듯이, 양의 특성에서 plt 중심이 반드시 정규인지 조사한다.
• 차원 3 이상과 특성 2를 초월한, 양의 특성에서 알려진 병리적 성질을 확장한다.
• 특성 $p \geq 3$ 에서 plt 중심의 정규성은 일반적으로 성립하지 않음을 보여주어, 특성 0의 MMP에서의 기대에 도전한다.
• 다중 로그 캐논리컬 형식에 대한 하콘-마크 케르난의 레이저 레지멘트 레지멘트가 양의 특성에서 실패할 수 있음을 보여준다.
• 정규화가 아닌 $H^2(\mathcal{O}_Z)$ 를 갖는 종단 파노 다양체를 구성하여, 새로운 코homological 병리적 성질을 드러낸다.

제안 방법

• 코다이라 퇴적의 위반을 일으키는, $H^1(X, \mathcal{O}_X(A)) \neq 0$ 이고 $-K_X = 2A$ 인, 차원 $2p+1$ 의 매끄러운 파노 다양체를 사용한다.
• 그러한 파노 다양체 위의 아핀 콘 $Z = C_a(X, \mathcal{O}_X(A))$ 를 구성하여, 차원 $2p+2$ 의 종단 특이점을 얻고, $K_Z + S \sim 0$ 이 되도록 하는 인자 $S$ 를 확보한다.
• 정규화 사상 $\nu: S^\nu \to S$ 의 비전사성으로 인해 $S$ 가 정규가 아니라는 것을 보이며, 이는 제약 사상에서 $H^0$-전사성의 실패에 기반한다.
• 사영 다발 $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ 에서의 상대 캐논리컬 번들의 성질과 프로젝션 공식을 적용하여 $-K_Y$ 의 강한 앰플리티스를 확인한다.
• 다음으로 $-K_Y$ 의 영점 집합이 공집합임을 증명하여 $-K_Y$ 가 강한 앰플리티스임을 보이고, 따라서 $Y$ 가 파노임을 확인한다.
• 콘 구조의 코homological 성질을 사용하여, 종단 파노 다양체 $Z$ 에 대해 $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$ 임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p \geq 3$ 에서 plt 중심은 특성 0에서 그렇듯이 반드시 정규인가?
• RQ2 양의 특성에서 코다이라 퇴적의 실패는 plt 중심이 비정규가 될 수 있음을 의미하는가?
• RQ3 다중 로그 캐논리컬 형식에 대한 하콘-마크 케르난의 레이저 레지멘트 레지멘트가 양의 특성에서 실패할 수 있는가?
• RQ4 모든 $n$ 차원 plt 중심이 정규가 되는 $p_0(n)$ 의 상한이 존재하는가?
• RQ5 양의 특성에서 종단 파노 다양체 $Z$ 는 항상 $H^2(\mathcal{O}_Z) = 0$ 인가, 아니면 이 군이 비영일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 소수 $p \geq 3$ 에 대해, 차원 $2p+2$ 의 순수하게 로그 단순 특이점 쌍 $(Z, S)$ 가 존재하며, 이 경우 $S$ 는 정규가 아니다.
• plt 중심 $S$ 는 종단 특이점을 갖는 아핀 다양체 $Z$ 상의 소수 인자이며, $K_Z + S$ 는 카르티에이다.
• 모든 $m \geq 0$ 에 대해 제약 사상 $H^0(Y, \mathcal{O}_Y(m(K_Y + S^Y))) \to H^0(S^Y, \mathcal{O}_{S^Y}(mK_{S^Y}))$ 는 전사적이지 않으며, 이는 하콘-마크 케르난의 레이저 레지멘트 레지멘트의 실패를 보여준다.
• 차원 $2p+2$ 의 종단 파노 다양체 $Z$ 가 존재하며, 이에 대해 $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$ 이다. 이는 토타로의 파노 다양체 위의 사영 콘으로 구성된다.
• 사영 다발 $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ 는 파노이며, $-K_Y$ 는 강한 앰플리티스이자 크기 있는 것으로 확인되어 콘의 파노 성질을 확인한다.
• 이 구성은 파노 다양체에서 코다이라 퇴적의 실패를 확인하며, 이 실패가 직접적으로 비정규적인 plt 중심을 초래한다는 것을 확인한다.