[논문 리뷰] Non null controllability of Stokes equations with memory

Enrique Fernández‐Cara, José Lucas F. Machado외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 15.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 41인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 경계 또는 분포형 제어가 있을 경우조차도 기억 항을 가진 3D 스토크스 방정식이 영 제어 가능하지 않음을 입증한다. 쌍대성 원리와 안정화를 저지하는 특정 초기 데이터의 구성에 기반하여, 관측 불가능성 부등식의 실패를 증명함으로써 기억 항이 제어 가능성에 본질적으로 방해가 된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study the null controllability of the three-dimensional Stokes equations with a memory term. For any positive final time $T>0$, we construct initial conditions such that the null controllability does not hold even if the controls act on the whole boundary. Moreover, we also prove that this negative result holds for distributed controls.

연구 동기 및 목표

• 경계 또는 분포형 제어 하에서 기억 항을 가진 3D 스토크스 방정식이 영 제어 가능성을 갖는지 조사한다.
• 기억 항의 존재가 스토크스 시스템의 표준 제어 성질을 방해하는지 결정한다.
• 최종 시간 T에서 해를 0으로 이끌 수 없는 초기 데이터를 구성하여 부정적인 결과를 확립한다.
• 기존의 기억 항이 있는 열 방정식에 대한 비제어 가능성 결과를 더 복잡한 기억 항이 있는 벡터 값의 비압축성 스토크스 시스템으로 확장한다.
• 수반 시스템의 관측 불가능성 부등식이 실패함으로써 영 제어 가능성의 부족을 보여준다.

제안 방법

• 영 제어 가능성과 수반 시스템의 관측 불가능성 부등식 사이의 쌍대성 원리를 사용한다.
• 시간 T에서 해가 0이 되지 못하게 하는 명시적 초기 데이터 y₀ ∈ H(Ω)를 구성한다.
• 관측 불가능성 부등식의 실패에 기반한 모순 증명 기법을 적용한다.
• 기억 항이 있는 열 방정식에 대한 Guerrero와 Imanuvilov(2013)의 기법을 스토크스 시스템에 적응한다.
• 수반 시스템을 분석한다: −ϕt − Δϕ − b∫ₜᵀ e⁻ᵃ⁽ˢ⁻ᵗ⁾Δϕ(·,s)ds + ∇q = 0, ϕ(·,T) = ϕ₀.
• 기억 적분 항으로 인해 균일한 관측 추정이 성립할 수 없음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 스토크스 방정식의 기억 항이 경계 제어 하에서 영 제어 가능성을 방해하는가?
• RQ2 기억 적분 항이 존재하는 상황에서 수반 시스템의 관측 불가능성 부등식이 여전히 성립하는가?
• RQ3 모든 제어 v ∈ L²(γ×(0,T))가 시간 T에서 해를 0으로 이끌 수 없는 특정한 초기 데이터 y₀ ∈ H(Ω)가 존재하는가?
• RQ4 분포형 제어가 경계 제어 대신 사용될 경우 영 제어 가능성의 부족 현상이 유지되는가?
• RQ5 표준 카르레만 부등식 접근법을 이 기억-적분-미분 시스템에 적용하여 관측 가능성을 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 T > 0에 대해 기억 항이 있는 3D 스토크스 방정식의 영 제어 가능성은 실패한다.
• 경계 제어 v ∈ L²(γ×(0,T))가 존재하지 않아 시간 T에서 해를 0으로 이끌 수 있는 초기 조건 y₀ ∈ H(Ω)가 존재한다.
• 비어 있지 않은 열린 부분집합 ω ⊂ Ω에서 작용하는 분포형 제어에 대해서도 동일한 비제어 가능성 결과가 성립한다.
• 영 제어 가능성의 실패는 수반 시스템의 관측 불가능성 부등식의 붕괴로 귀결된다.
• 기억 항은 표준 카르레만 추정의 적용을 방해하는 구조적 장애를 유도한다.
• 기존의 기억 항이 있는 스칼라 열 방정식에 대한 비제어 가능성 결과를 벡터 값의 비압축성 스토크스 시스템으로 확장한다.