[논문 리뷰] Non-perturbative Schottky problem and stable equations for the hyperelliptic locus

Giulio Codogni|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 계수 24, 32, 48인 특정한 짝수, 단순모듈라, 정부호 이차형식에서 유도된 θ-급수의 차이가 프incipally polarized 아벨 다양체의 모듈리 공간 내에서 초타원곡선 부분류 위에서 정확히 0이 됨을 증명한다. Satake 컴actification의 경계의 기하적 성질과 아벨 다양체의 곱에 대한 모노이드 구조를 이용하여, 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식의 아이디얼이 이러한 차이들에 의해 생성됨을 증명한다.

ABSTRACT

It is well known that, fixed an even, unimodular, positive definite quadratic form, one can construct a modular form in each genus; this form is called the theta series associated to the quadratic form. Varying the quadratic form, one obtains the ring of stable modular forms. We show that the differences of theta series associated to specific pairs of quadratic forms vanish on the locus of hyperelliptic Jacobians in each genus. In our examples, the quadratic forms have rank 24, 32 and 48. The proof relies on a geometric result about the boundary of the Satake compactification of the hyperelliptic locus. We also study the monoid formed by the moduli space of all principally polarised abelian varieties, the operation being the product of abelian varieties. We use this construction to show that the ideal of stable modular forms vanishing on the hyperelliptic locus in each genus is generated by differences of theta series.

연구 동기 및 목표

• 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식을 규명하여 비퍼트르베이션 슈타크 문제를 해결하는 것.
• 모든 계수에서 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식의 아이디얼을 특성화하는 것.
• 초타원곡선 부분류의 Satake 컴actification의 경계와 θ-급수 차이의 0이 되는 것 사이의 기하적 연결 고리를 확립하는 것.
• 프incipally polarized 아벨 다양체의 모듈리 공간에 존재하는 모노이드 구조가 이러한 아이디얼을 θ-급수 차이들로 생성하는 데 기여하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 계수 24, 32, 48인 짝수, 단순모듈라, 정부호 이차형식에서 θ-급수를 구성하는 것.
• Satake 컴actification의 경계의 기하적 성질을 이용하여 이러한 θ-급수 간의 차이가 초타원곡선 부분류에서 0이 되는지 분석하는 것.
• 프incipally polarized 아벨 다양체의 모듈리 공간에서 아벨 다양체의 곱이 연산인 모노이드 구조를 활용하는 것.
• 이러한 모노이드 구성에 의해 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식의 아이디얼이 θ-급수 차이들에 의해 생성됨을 증명하는 것.
• 이차형식을 다양하게 변화시켜 유도되는 안정적 모듈라 형식의 환을 활용하여 관련된 모듈라 형식을 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 계수에서 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식은 무엇인가?
• RQ2 이러한 모듈라 형식의 아이디얼은 어떻게 대수적으로 생성될 수 있는가?
• RQ3 θ-급수 차이의 0이 되는 데 기여하는 Satake 컴actification의 경계의 기하적 성질은 무엇인가?
• RQ4 프incipally polarized 아벨 다양체의 모듈리 공간에 존재하는 모노이드 구조를 이용하여 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 형식의 아이디얼을 생성할 수 있는가?
• RQ5 계수 24, 32, 48인 특정한 이차형식에서 유도된 θ-급수의 차이는 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 전체 안정적 모듈라 형식의 아이디얼을 포괄하는가?

주요 결과

• 계수 24, 32, 48인 특정한 짝수, 단순모듈라, 정부호 이차형식에 대응하는 θ-급수의 차이는 모든 계수에서 초타원곡선 부분류에서 0이 된다.
• 초타원곡선 부분류에서 0이 되는 안정적 모듈라 형식의 아이디얼은 이러한 θ-급수 차이들에 의해 생성된다.
• Satake 컴actification의 초타원곡선 부분류 경계의 기하적 구조는 이러한 차이의 0이 되는 것을 증명하는 데 핵심적인 도구가 된다.
• 프incipally polarized 아벨 다양체의 모듈리 공간에 존재하는 모노이드 구조는 아벨 다양체의 곱을 통해 아이디얼의 생성을 지원한다.
• 이 구성은 안정적 모듈라 형식의 환(환)이 초타원곡선 부분류에 대한 비퍼트르베이션 슈타크 문제를 해결하는 데 필요한 모듈라 형식을 포괄함을 확인한다.