[논문 리뷰] Non Projected Calabi-Yau Supermanifolds over $\mathbb{P}^2$

Sergio L. Cacciatori, Simone Noja외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{P}^2$ 위의 비분할 Calabi-Yau 초다양체(supermanifold)의 차원이 $2|2$임을 분류하여, 비영(cohomology) 클래스 $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$ 와 랭크 $0|2$의 국소적으로 자유로운 층 $\mathcal{F}_M$이 $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$를 만족함으로써 완전히 결정됨을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 초다양체들이 모두 Calabi-Yau이면서 비분할임을 보이며, 초그라스만니안(super Grassmannian)에 임베딩 가능하다는 것이다. 특수한 경우는 $\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$일 때 Manin의 $\Pi$-프로젝티브 평면과 일치한다.

ABSTRACT

We start a systematic study of non-projected supermanifolds, concentrating on supermanifolds with fermionic dimension 2 and with the reduced manifold a complex projective space. We show that all the non-projected supermanifolds of dimension $2|2$ over $\mathbb{P}^2$ are completely characterised by a non-zero 1-form $ω$ and by a locally free sheaf $\mathcal{F}$ of rank $0|2$, satisfying $Sym^2 \mathcal{F} \cong K_{\mathbb{P}^2}$. Denoting such supermanifolds with $\mathbb{P}^{2}_ω(\mathcal{F})$, we show that all of them are Calabi-Yau supermanifolds and, when $ω eq 0$, they are non-projective, that is they cannot be embedded into any projective superspace $\mathbb{P}^{n|m}$. Instead, we show that every non-projected supermanifolds over $\mathbb{P}^2$ admits an embedding into a super Grassmannian. By contrast, we give an example of a supermanifold $\mathbb P^{2}_ω(\mathcal F)$ that cannot be embedded in any of the $Π$-projective superspaces $\mathbb P^{n}_Π$ introduced by Manin and Deligne. However, we also show that when $\mathcal F$ is the cotangent bundle over $\mathbb{P}^2$, then the non-projected $\mathbb{P}^2_ω(\mathcal F)$ and the $Π$-projective plane $\mathbb P^{2}_Π$ do coincide.

연구 동기 및 목표

• 차원이 $2|2$이고 축약된 다양체가 $\mathbb{P}^2$인 비분할 초다양체를 체계적으로 연구하기 위해.
• 코homological 및 층 이론적 자료를 사용하여 $\mathbb{P}^2$ 위의 모든 비분할 초다양체를 차원 $2|2$로 특성화하기 위해.
• 비분할 초다양체가 Calabi-Yau임을 증명하고, 어떤 초다양체가 분할 가능한 프로젝티브 슈퍼스페이스 $\mathbb{P}^{n|m}$에 임베딩될 수 없음을 보여주기 위해.
• 초그라스만니안에의 임베딩을 조사하고 $\Pi$-프로젝티브 공간과 비교하기 위해.

제안 방법

• 분할에 대한 장애물로 비영 코hom로 클래스 $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$를 사용한 분류.
• 초다양체 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$는 랭크 $0|2$의 층 $\mathcal{F}_M$을 갖는 분할 초다양체의 변형으로 구성되며, $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$ 조건을 만족함으로써 Calabi-Yau 성질을 보장한다.
• 초그라스만니안에의 임베딩은 일반 정리(정리 6.1)를 통해 확립되며, 모든 이러한 초다양체가 선형 임베딩을 갖는다고 보여준다.
• $\Pi$-프로젝티브 평면 $\mathbb{P}^2_\Pi$는 전이 함수와 층 자료를 비교하여, $\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$일 때 일치함을 보여준다.
• 코homological 계산과 전이 함수 일치를 통해 $\Pi$-프로젝티브 공간과의 동형을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원이 $2|2$이고 $\mathbb{P}^2$ 위의 비분할 초다양체의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 어느 초다양체가 Calabi-Yau이며, 이러한 성질을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\mathbb{P}^2$ 위의 비분할 초다양체는 프로젝티브 슈퍼스페이스에 임베딩될 수 있는가? 만약 불가능하면 어떤 공간에 임베딩될 수 있는가?
• RQ4 비분할 초다양체가 언제 Manin의 $\Pi$-프로젝티브 평면 $\mathbb{P}^2_\Pi$와 일치하는가?
• RQ5 코탄제이트 배럴 $\Omega^1_{\mathbb{P}^2}$는 $\Pi$-프로젝티브 기하학을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\mathbb{P}^2$ 위의 모든 비분할 초다양체는 차원 $2|2$이며, 비영 $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$ 와 $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$를 만족하는 층 $\mathcal{F}_M$에 의해 결정되며, 초다양체 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$를 형성한다.
• 모든 이러한 초다양체는 초다양체적 의미에서 캐논리컬 번들의 자명성으로 인해 Calabi-Yau이다.
• $\omega \neq 0$일 경우 초다양체 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$는 비분할이며, 어떤 분할 프로젝티브 슈퍼스페이스 $\mathbb{P}^{n|m}$에도 임베딩될 수 없다.
• $\mathbb{P}^2$ 위의 모든 비분할 초다양체는 정리 6.1에 의해 초그라스만니안에 선형 임베딩을 갖는다.
• $\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$일 경우 초다양체 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$는 Manin의 $\Pi$-프로젝티브 평면 $\mathbb{P}^2_\Pi$와 일치한다. 전이 함수 일치를 통해 검증되었다.
• $\Pi$-프로젝티브 평면 $\mathbb{P}^2_\Pi$는 비영 $\omega$에 대해 $\mathbb{P}^2_\omega(\Pi\Omega^1_{\mathbb{P}^2})$와 동형이며, $G(1|1, \mathbb{C}^{3|3})$에 임베딩된다.