[논문 리뷰] Non-relativistic expansion of the Einstein-Hilbert Lagrangian

Dennis Schrøder Hansen, Jelle Hartong외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 31.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 빛의 속도의 역수의 거듭제곱에 따른 에인슈타인-힐버트 라그랑지안의 체계적인, 공변적인 전개를 제시하며, 이는 다음까지의 순서에서 비상대론적 중력(NRG) 라그랑지안을 유도한다. 뉴턴-카르탕 기하학에 기반한 장 재정의를 통해, 이 방법은 뉴턴 역학을 재현하고 중력적 시계지연과 같은 상대론적 보정을 포함하는 비상대론적 효과 이론을 도출한다.

ABSTRACT

We present a systematic technique to expand the Einstein-Hilbert Lagrangian in inverse powers of the speed of light squared. The corresponding result for the non-relativistic gravity Lagrangian is given up to next-to-next-to-leading order. The techniques are universal and can be used to expand any Lagrangian theory whose fields are a function of a given parameter.

연구 동기 및 목표

• 빛의 속도의 역수의 거듭제곱에 따른 에인슈타인-힐버트 라그랑지안의 체계적이고 순서별 전개를, 작은 매개변수를 가진 임의의 이론에 대해 유도한다.
• 뉴턴 역학과 중력적 시계지연과 같은 상대론적 보정을 포함하는 비상대론적 중력(NRG) 라그랑지안을 유도한다.
• 장 재정의와 재스케일링된 라그랑지안의 테일러 전개를 통해 임의의 라그랑지안 이론을 매개변수($ c^{-2} $)로 전개하는 보편적인 프레임워크를 수립한다.
• 결과적으로 도출된 NRG 라그랑지안이 NNLO에서 원래의 상대론적 이론의 운동 방정식을 비상대론적 근사에서 정확히 재현함을 보여준다.
• 중력적 시계지연과 후뉴턴 효과가 비상대론적 근사에서 NRG 표현에 자연스럽게 나타남을 보여준다.

제안 방법

• 장의 재스케일링을 통해 $ \tilde{\rho} = c^{-2} $ 를 도입하여 전체 라그랑지안을 $ \mathcal{L} = c^N \tilde{\mathcal{L}}(\sigma) $ 로 전개하며, 여기서 $ \sigma = c^{-2} $ 이다.
• 재스케일링된 라그랑지안 $ \tilde{\mathcal{L}}(\sigma) $ 를 $ \sigma = 0 $ 근처에서 테일러 전개하여 주차항(LO), 다음 주차항(NLO), 다음 다음 주차항(NNLO)의 항들을 도출한다.
• 장들을 $ \phi^I = \phi^{I}_{(0)} + c^{-2}\phi^{I}_{(1)} + c^{-4}\phi^{I}_{(2)} + \cdots $ 로 정의하여, $ c^0 $ 차수의 장들이 주차항 이론에 해당함을 보장한다.
• 메트릭에 대한 장 재정의를 통해 $ g_{\mu\nu} = -c^2 T_\mu T_\nu + \Pi_{\mu\nu} $ 를 사용하며, 여기서 $ T_\mu $ 는 시간성 벡터이고 $ \Pi_{\mu\nu} $ 는 공간 사영 연산자이다. 이를 통해 비상대론적 자유도를 분리한다.
• 뉴턴-카르탕 이론의 기하학적 구조를 유지하고 공변 도함수의 일致성을 확보하기 위해 비틀림이 있는 접속 $ C^\rho_{\mu\nu} $ 를 사용한다.
• 주차항 라그랑지안의 두 번째 변위와 재스케일링된 라그랑지안의 $ \sigma $-미분을 이용하여 NNLO 라그랑지안을 유도하며, 각 차수에서 운동 방정식과의 일致성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에인슈타인-힐버트 라그랑지안은 어떻게 빛의 속도의 역수의 거듭제곱에 따라 체계적으로 전개되어 비상대론적 효과 이론을 도출할 수 있는가?
• RQ2 $ 1/c^2 $ 전개에서 다음까지의 순서(NNLO)에서 비상대론적 중력 라그랑지안의 구조는 어떠한가?
• RQ3 중력적 시계지연과 같은 상대론적 보정은 일반 상대성 이론의 비상대론적 근사에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 각 차수에서 NRG 라그랑지안의 운동 방정식이 비상대론적 근사에서 원래의 상대론적 이론의 운동 방정식과 일치함을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ5 뉴턴-카르탕 기하학과 그 비틀림이 있는 접속은 공변적이며 비온-쉘(non-on-shell) 비상대론적 효과 이론을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비상대론적 중력 라그랑지안은 $ 1/c^2 $ 전개에서 NNLO까지 유도되었으며, 뉴턴-카르탕 장들로 표현된 전체 식은 식 (27)에 기재되어 있다.
• 주차항은 비틀림이 있는 접속으로 구성된 리치 스칼라를 포함하는 표준 뉴턴-카르탕 작용에 해당하며, 뉴턴 역학을 캐리한다.
• NLO 및 NNLO 항은 각각 $ \sigma $-미분과 주차항 라그랑지안의 두 번째 변위로부터 유도되며, $ c^{-2} $ 보정된 장들에 대해 정확한 운동 방정식을 재현한다.
• NNLO 라그랑지안에 필드 강도 $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu m_\nu - \partial_\nu m_\mu - a_\mu m_\nu + a_\nu m_\mu $ 가 나타나며, 이는 비상대론적 근사에서 전자기 유사 역학의 출현을 시사한다.
• 밀른 보즈-불림 불변 형태로 표현된 라그랑지안(식 28)은 비상대론적 시공간의 대칭성과 일致함을 확인하며, 여기서 $ \hat{v}^\mu $ 와 $ \hat{\Phi} $ 는 보즈-불림 불변 속도와 잠재력이다.
• $ \Phi_{\mu\nu}^2 $ 항이 존재하지 않는 것은 주차항 라그랑지안의 두 번째 변위가 TTNC(비틀림이 없고 수직인) 비온-쉘 조건 하에서 영이 되기 때문에 발생하며, 이는 NNLO 작용의 구조를 단순화시킨다.