[논문 리뷰] Non-tangential limits and the slope of trajectories of holomorphic semigroups of the unit disc

Filippo Bracci, Manuel D. Contreras외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 16.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만 사상 하에서 수열의 비접선 수렴을 위한 기하학적 기준을 고르모 위상수학 이론을 사용하여 수립한다. 단순연결 도메인 내의 수열이 단위 원판의 경계로 비접선으로 수렴하는 것은, 더 큰 도메인 내의 지오데식선 주위의 튜브형 비유클리드 이웃근처에 최종적으로 포함될 때이고, 이는 단위 원판 내 헬로모르픽 반군에 대한 응용을 포함한다. 이는 비접선 수렴과 진동하는 궤적을 포함한다.

ABSTRACT

Let $\\Delta\\subsetneq \\mathbb C$ be a simply connected domain, let $f:\\mathbb D \ o \\Delta$ be a Riemann map and let $\\{z_k\\}\\subset \\Delta$ be a compactly divergent sequence. Using Gromov's hyperbolicity theory, we show that $\\{f^{-1}(z_k)\\}$ converges non-tangentially to a point of $\\partial \\mathbb D$ if and only if there exists a simply connected domain $U\\subsetneq \\mathbb C$ such that $\\Delta\\subset U$ and $\\Delta$ contains a tubular hyperbolic neighborhood of a geodesic of $U$ and $\\{z_k\\}$ is eventually contained in a smaller tubular hyperbolic neighborhood of the same geodesic. As a consequence we show that if $(\\phi_t)$ is a non-elliptic semigroup of holomorphic self-maps of $\\mathbb D$ with K\\"onigs function $h$ and $h(\\mathbb D)$ contains a vertical Euclidean sector, then $\\phi_t(z)$ converges to the Denjoy-Wolff point non-tangentially for every $z\\in \\mathbb D$ as $t\ o +\\infty$. Using new localization results for the hyperbolic distance, we also construct an example of a parabolic semigroup which converges non-tangentially to the Denjoy-Wolff point but oscillating, in the sense that the slope of the trajectories is not a single point.

연구 동기 및 목표

• 단순연결 도메인 Δ⊂ℂ 내의 수열이 리만 사상 f:𝔻→Δ에 의한 역상이 단위 원판의 경계로 비접선으로 수렴하는 기하학적 조건을 규명하는 것.
• 도메인의 비유클리드 기하학과 그가 더 큰 단순연결 도메인에 임베딩된 방식을 사용하여 비접선 수렴을 특성화하는 것.
• 이 기준을 단위 원판의 자기사상에 대한 헬로모르픽 반군에 적용하여, 딘조-울로프 점으로의 수렴을 분석하는 것.
• 비접선 수렴을 보이지만 궤적 기울기가 수렴하지 않고 진동하는 파라볼릭 반군의 예를 구성하여 수렴 행동의 단조성 개념에 도전하는 것.

제안 방법

• 고르모의 비유클리드 기하학 이론을 사용하여, 단위 원판 내 비접선 수렴을 더 큰 도메인 내 지오데식선 주위의 튜브형 비유클리드 이웃근처에 수열이 포함되어 있음을 연결한다.
• 단순연결 도메인의 비유클리드 거리와 지오데식 기하학을 적용하여 비접선 수렴을 비유클리드 거리와 관련된 기하학적 조건으로 변환한다.
• 좋은 상자(특정 기하 영역) 내에서 비유클리드 거리의 국소화 기법을 사용하여 곡선의 행동과 기준점으로부터의 비유클리드 거리 제어를 가능하게 한다.
• 준지오데식선 논증과 비교 정리를 사용하여 수직 유클리드 섹터를 포함하는 도메인 내의 특정 곡선이 균일한 준지오데식선임을 보이며, 이는 비접선 수렴을 암시한다.
• 특정 수열의 좋은 상자들과 비유클리드 거리 추정을 사용하여, 비접선 수렴에도 불구하고 궤적 기울기가 진동하는 파라볼릭 반군을 구성한다.
• 코엔그스 함수를 사용하여 반군의 역학을 이미지 도메인의 기하학, 특히 수직 유클리드 섹터를 포함할 경우와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순연결 도메인 Δ⊂ℂ에서 축소되지 않는 수열 {zₖ}⊂Δ이 리만 사상 f:𝔻→Δ에 의한 역상이 단위 원판의 경계로 비접선으로 수렴하는 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ2 헬로모르픽 반군의 궤적이 단위 원판 내에서 비접선으로 수렴하는가를 코엔그스 함수의 이미지 기하학으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 비접선으로 딘조-울로프 점으로 수렴하는 파라볼릭 반군이 존재할 수 있으며, 이 경우 궤적의 기울기가 수렴하지 않고 진동할 수 있는가?
• RQ4 도메인 내 비유클리드 거리는 어떻게 국소화되고, 모델 도메인(예: 스트립)의 비유클리드 거리와 비교하여 기하학적 및 역학적 성질을 유추할 수 있는가?
• RQ5 더 큰 도메인 U⊃Δ 내에서 지오데식선 주위의 튜브형 비유클리드 이웃근처의 존재가 하위도메인 Δ⊂U 내 수열의 비접선 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Δ⊂ℂ 내의 수열 {zₖ}가 Δ 내에 축소점이 없으면, f⁻¹({zₖ})가 ∂𝔻로 비접선으로 수렴하는 것은, 더 큰 단순연결 도메인 U⊃Δ와 U 내의 지오데식선 γ가 존재하여 {zₖ}가 최종적으로 γ의 비유클리드 이웃근처에 있고, Δ가 γ의 튜브형 비유클리드 이웃근처를 포함할 때이다.
• 비타원형 반군의 코엔그스 함수의 이미지가 수직 유클리드 섹터를 포함하면, 모든 궤적이 딘조-울로프 점으로 비접선으로 수렴한다.
• 비접선으로 딘조-울로프 점으로 수렴하지만 궤적 기울기가 수렴하지 않고 진동하는 파라볼릭 반군이 단위 원판 내에 존재한다. 즉, 접근 방향이 안정화되지 않는다.
• Δ=f(𝔻)가 무한대에서 별형이며 수직 유클리드 섹터를 포함하면, 단위 원판 내 곡선 t↦f⁻¹(f(z)+it)는 t→+∞일 때 ∂𝔻로 비접선으로 수렴한다.
• 모든 M>0에 대해 j₀가 존재하여, j≥j₀이면 모든 t∈[0,1)에 대해 k_Ω(γ(t),iyⱼ) > M가 성립함을 보여, 곡선 γ₀가 어떤 고정된 지오데식선으로 점 渐진하지 않음을 확인하고 진동 행동을 확인한다.
• 좋은 상자 Bⱼ 내의 비유클리드 거리는 모델 스트립 ℂ_Rⱼ−aⱼ와 균일하게 비교 가능하여, 등각 불변성과 비교 원리를 통한 정밀한 거리 추정 제어가 가능하다.