[논문 리뷰] Non-Turing computations via Malament-Hogarth space-times

Gábor Etesi, István Németi|ArXiv.org|2001. 04. 09.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 16인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 블랙홀 근처에서의 무한한 시간 지연 현상을 이용하여, 마라멘트-호거샤우스 시공간을 활용한 상대론적 계산 모델을 제안한다. 이 모델은 튜링 기계의 무한한 단계를 유한한 고유 시간 내에 검증할 수 있도록 하여, 비튜링 계산을 수행한다. 일반 상대성이론의 틀에서 관측자는 유한한 고유 시간 내에 튜링 기계의 정지 여부를 확인할 수 있으며, 이는 비재귀 함수를 계산할 수 있음을 의미한다. 이는 상대론적 물리학에서 추상적 계산의 이론적 한계를 정의하는 추정인 추론-튜링 추측의 必須성을 도전한다.

ABSTRACT

We investigate the Church-Kalmár-Kreisel-Turing Theses concerning theoretical (necessary) limitations of future computers and of deductive sciences, in view of recent results of classical general relativity theory. We argue that (i) there are several distinguished Church-Turing-type Theses (not only one) and (ii) validity of some of these theses depend on the background physical theory we choose to use. In particular, if we choose classical general relativity theory as our background theory, then the above mentioned limitations (predicted by these Theses) become no more necessary, hence certain forms of the Church-Turing Thesis cease to be valid (in general relativity). (For other choices of the background theory the answer might be different.) We also look at various ``obstacles'' to computing a non-recursive function (by relying on relativistic phenomena) published in the literature and show that they can be avoided (by improving the ``design'' of our future computer). We also ask ourselves, how all this reflects on the arithmetical hierarchy and the analytical hierarchy of uncomputable functions.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성이론의 맥락에서 추론-칼마르-튜링 추측이 이론적 계산의 한계를 유지하는지 여부를 조사한다.
• 특정 비재귀 함수가 마라멘트-호거샤우스 시공간에서 계산될 수 있음을 보여줌으로써, 추론-튜링 추측의 필수성을 도전한다.
• 이전에 제기된 상대론적 계산의 물리적 장애물을 분석하고 반박하며, 일반 상대성이론의 틀 내에서 이러한 장애물들이 피할 수 있음을 보여준다.
• 이러한 계산이 비계산 가능한 함수의 산술적 및 분석적 계층에 미치는 영향을 검토한다.
• 현재 이론적 한계를 고려하면서도, 양자 중력 효과에 대한 상대론적 계산 모델의 강건성을 평가한다.

제안 방법

• 무한한 고유 시간을 가지는 시간선(γP)과 공통의 사건(p)을 포함하는 마라멘트-호거샤우스 시공간을 사용한다. 이 사건에서는 γP에서 온 신호를 수신할 수 있다.
• 두 관측자로 구성된 사고 실험을 설계한다: γP는 블랙홀에 빠지며 무한한 계산을 수행하고, γO는 외부에 정지해 있어 γP로부터의 신호를 수신한다.
• 카르 블랙홀 시공간의 인과적 구조를 활용하여, γO가 γP의 무한한 단계 시퀀스 이후 유한한 시간 내에 신호를 수신할 수 있음을 보장한다.
• γO가 Malament-Hogarth 사건 p에 가까운 영역에서 γP의 신호를 수신할 수 있다면, 그 감지 시간을 임의의 정밀도로 측정할 수 있다는 원리를 적용한다.
• 플랑크 시간 한계를 사용하여 시간 측정 정밀도를 분석하며, 양자 중력 이론에서 무한 정밀도의 시간 측정이 제한될 수 있음을 보여준다.
• 블랙홀 증발 및 양자 변동성과 같은 양자 효과를 고려하여, 전체 양자 중력 이론 틀 내에서 계산이 방해받을 수 있음을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대론적 시공간 구조를 이용하여 비재귀 함수를 유한한 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 일반 상대성이론의 물리적 가정이 이상화된 계산 시스템에 대해 추론-튜링 추측의 필수성을 무너뜨리는가?
• RQ3 이전에 언급된 상대론적 계산의 장애물들(예: 신호 탐지, 시간 측정 정밀도)이 일반 상대성이론 내에서 물리적으로 극복 불가능한가?
• RQ4 마라멘트-호거샤우스 시공간의 존재가 비계산 가능한 함수의 산술적 및 분석적 계층에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 양자 중력 효과(예: 플랑크 척도의 시간 제한, 블랙홀 증발)가 이러한 상대론적 계산 모델의 실현 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 마라멘트-호거샤우스 시공간에서는 관측자 γO가 무한한 고유 시간을 경험하는 세계선 γP로부터의 신호를 수신할 수 있으며, 이는 유한한 시간 내에 무한한 계산을 검증할 수 있음을 의미한다.
• 이 모델은 비재귀 함수—특히 튜링 기계의 정지 문제—를 γO가 유한한 시간 내에 결정할 수 있음을 보여주며, 이는 비튜링 계산을 달성한다.
• 이전에 제기된 일반 물리적 장애물들(예: 신호 탐지, 시간 측정 정밀도)은 일반 상대성이론의 틀 내에서 피할 수 있다.
• γO가 요구하는 시간 측정 정밀도는 고전 물리학에서는 기본적인 장애물이 아니지만, 양자 중력 이론에서는 플랑크 시간 척도로 인해 제한될 수 있다.
• 블랙홀 증발 및 양자 변동성과 같은 양자 효과는 전체 양자 중력 이론 틀 내에서 이 모델의 실현을 궁극적으로 방해할 수 있다.
• 결과적으로 추론-튜링 추측은 보편적으로 유효하지 않으며, 그 유효성은 선택된 물리적 배경 이론에 따라 달라지며, 일반 상대성이론은 하이퍼컴퓨팅을 가능하게 한다.