[논문 리뷰] Non-uniform dependence on initial data for the Whitham equation

Mathias Nikolai Arnesen|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 31.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $H^s$에서 $s > \frac{3}{2}$인 스obolev 공간에서 Whitham 방정식 및 관련 Whitham 유형 방정식에 대해 초기 자료에 대한 비균일한 의존성을 확립한다. 이는 초기에 수렴하는 두 해의 수열을 구성함으로써 이루어지며, 이후 시간에 이르러 발산하는 방식으로 이루어진다. 분산 연산자 $L$가 KdV 방정식의 것보다 약할 경우에도 결과가 성립하며, 이는 주기적 및 비주기적 설정 모두에서 흐름 맵이 균일 연속이 아님을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem \begin{align*} \partial_t u+u\partial_x u+L(\partial_x u) &=0, \\ u(0,x)=u_0(x) \end{align*} on the torus and on the real line for a class of Fourier multiplier operators $L$, and prove that the solution map $u_0\mapsto u(t)$ is not uniformly continuous in $H^s(\mathbb{T})$ or $H^s(\mathbb{R})$ for $s>\frac{3}{2}$. Under certain assumptions, the result also hold for $s>0$. The class of equations considered includes in particular the Whitham equation and fractional Korteweg-de Vries equations and we show that, in general, the flow map cannot be uniformly continuous if the dispersion of $L$ is weaker than that of the KdV operator. The result is proved by constructing two sequences of solutions converging to the same limit at the initial time, while the distance at a later time is bounded below by a positive constant.

연구 동기 및 목표

• Whitham 유형 방정식의 해 맵의 정칙도를 스obolev 공간 $H^s$에서 조사한다.
• 해 맵 $u_0 \mapsto u(t)$가 $s > \frac{3}{2}$인 $H^s$의 유계 집합에서 균일 연속인지 여부를 규명한다.
• 분산 기호 $m(\xi)$에 추가 조건을 두었을 때, 비균일한 의존성 결과를 낮은 정규성 $s > 0$으로 확장한다.
• 분산 강도가 흐름 맵의 정규성 결정에 미치는 역할을 규명하며, KdV 방정식과 비교한다.
• 같은 초기 극한을 가지지만 이후 시간에 유한한 거리로 분리되는 두 해 수열의 구성에 의해 균일 연속성의 실패를 확립한다.

제안 방법

• 고주기적인 초기 자료를 갖는 $H^s$에서의 고주기적 초기 자료를 기반으로, $\omega = \pm 1$ 및 큰 $\lambda$를 갖는 두 해 수열 $u_{\omega,\lambda}$를 구성한다.
• 근사 해 방법과 에너지 추정을 사용하여 $H^s$에서 해 간의 차이의 진화를 제어한다.
• 삼각 부등식을 적용하여 $\|u_{1,\lambda} - u_{-1,\lambda}\|_{H^s}$의 $H^s$ 노름을 주 성분의 차이로 아래에서 유계화한다.
• 고차원 및 저차원 정규성 노름 사이의 보간과 $L^2$ 기반 추정을 사용하여 해 차이의 오차 항을 제어한다.
• $L^2$ 및 $\int uLu\,dx - \int u^3\,dx$를 포함하는 수정된 에너지 보존 법칙을 활용하여, $s < \frac{3}{2}$인 경우 고차원 노름을 제어한다.
• 큰 $|\xi|$에서 $|m(\xi)| \gtrsim |\xi|^r$ 조건을 활용하여 $H^{r/2}$ 노름이 시간에 따라 균일하게 유계임을 보장하고, 저차원 $s$에 대해 보간을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토러스와 실수선에서 $s > \frac{3}{2}$인 $H^s$에서 Whitham 방정식의 해 맵이 균일 연속인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 분산이 KdV 방정식보다 약할 경우 비균일한 의존성은 유지되는가?
• RQ3 기호 $m(\xi)$에 추가 조건을 두었을 때 비균일한 의존성 결과를 $s > 0$으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 기호 $m(\xi)$의 증가율은 흐름 맵의 정규성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 보존 법칙은 저정규성 영역에서 정규성의 전파와 해의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기호 $m(\xi)$에 대한 약한 가정 하에, $H^s(\mathbb{T})$에서 $s > \frac{3}{2}$인 모든 유계 집합에서 해 맵 $u_0 \mapsto u(t)$는 균일 연속이 아니다.
• 실수선의 경우, $m(\xi)$가 허더형 연속성 조건을 만족하고 $|\xi|^\gamma$ 이하로 증가할 때, $s > \frac{3}{2}$인 $H^s(\mathbb{R})$에서 비균일한 의존성이 성립한다.
• $0 < s < \frac{r}{2}$이고 $r > 1$일 때, 큰 $|\xi|$에서 $|m(\xi)| \gtrsim |\xi|^r$이며, 초기값 문제의 국소 적합성이 $H^s(\mathbb{R})$에서 성립하면 비균일한 의존성이 성립한다.
• 이 구성은 $t=0$에서 $H^s$에서 수렴하는 두 해 수열을 제공하지만, 임의의 $t > 0$에서 $H^s$에서 양의 거리로 분리되어 있으므로 균일 연속성의 실패를 증명한다.
• 이 결과는 날카롭다. 즉, $\gamma = 2$일 때 조건은 KdV 방정식를 포함하며, 이 경우 흐름 맵이 국소 리프시츠임이 알려져 있으므로, 균일 연속성의 임계점은 분산 강도와 관련이 있음을 시사한다.
• 균일 연속성의 실패는 분산 강도와 관련이 있다: 더 약한 분산(예: Whitham 또는 $\alpha < 2$인 fKdV)은 KdV에 비해 흐름 맵의 정규성에 더 나쁜 영향을 미친다.