[논문 리뷰] Non-Uniformly Hyperbolic Horseshoes Arising from Bifurcations of Poincaré Heteroclinic Cycles

Jacob Palis, Jean-Christophe Yoccoz|ArXiv.org|2006. 04. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 일차원 매개변수를 가진 표면 미분형사에서 Poincaré 이형선형 사이클의 분기로부터 유도되는 비균일 초구형 말뚝을 조사한다. 말뚝의 하우스도르프 차원이 1보다 크고, 접촉에 대해 약간의 비퇴화 조건을 가정함으로써, 저자들은 분기 근처의 대부분의 매개변수 값에서 말뚝과 접촉 궤도의 주변에 안정점이나 불안정점이 없는 비균일 초구형 역학을 증명한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to advance the knowledge of the dynamics arising from the creation and subsequent bifurcation of Poincaré heteroclinic cycles. The problem is central to dynamics: it has to be addressed if, for instance, one aims at describing the typical orbit behaviour of a typical system, thus providing a global scenario for the ensemble of dynamical systems - see the Introduction and [P1, P2]. Here, we shall consider smooth, i.e. $C^\infty$, one-parameter families of dissipative, meaning non-conservative, surface diffeomorphisms. An hetereoclinic cycle may appear when the parameter evolves and an orbit of tangency, say quadratic, is created between stable and unstable manifolds (lines) of periodic orbits that belong to a basic hyperbolic set. The key novelty is to allow this basic set, a horseshoe, to have Hausdorff dimension bigger than one. In the present paper we do assume such a dimension to be beyond one, but in a limited way, as explicitly indicated in the Introduction. [A mild non-degeneracy condition on the family of maps is assumed: at the orbit of tangency the invariant lines, stable and unstable, cross each other with positive relative speed]. We then prove that most diffeomorphisms, corresponding to parameter values near the bifurcating one, are non-uniformly hyperbolic in a neighborhood of the horseshoe and the orbit of tangency; such diffeomorphisms display no attractors nor repellors in such a neighborhood. A first precise formulation of our main theorem is at the Introduction and a more encompassing version at the end of the paper. These results were announced in [PY3].

연구 동기 및 목표

• Poincaré 이형선형 사이클의 생성과 분기에서 비롯된 역학을 이해하는 것. 이는 동역학계 이론의 핵심 문제이다.
• 기본 초구형 집합(말뚝)의 하우스도르프 차원이 1보다 큰 시스템에서 비균일 초구형 행동의 출현을 분석하는 것.
• 이러한 시스템이 말뚝과 접촉 궤도 주변에서 안정점이나 불안정점의 형성을 피할 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 일반적인 일차원 매개변수 가중치 가족이 분기점 근처에서 보이는 거시적 시나리오를 제시함으로써 일반적인 동역학계의 행동을 기술하는 것.

제안 방법

• 분석은 마르코프 분할을 사용하고, 접촉과 말뚝 주변의 역학을 모델링하기 위해 접힘 사상 G를 정의한다.
• 아핀 유사 맵을 사용하여 역학을 표현하며, 콘 조건과 분산 제어를 통해 초구형성을 보장한다.
• 강건한 비퇴화성을 확보하기 위해 임계 거리 δ(Q,P′) ≥ 2 max(|Q|^{1−η}, |P′|^{1−η})를 통해 횡단 관계를 정의한다.
• 매개변수 간격의 구축은 선택 과정과 강력한 정규성 조건에 기반하여 사각형과 그 반복의 기하학을 제어한다.
• 이 방법은 초기 비볼록 집합을 대체하여 더 큰, 잘 행동하는 사각형 클래스를 제공하는 유전적이고 볼록한 횡단 관계를 도입한다.
• 전이 연산자의 스펙트럼 분석과 갈리아 측도의 구성은 불변 집합의 하우스도르프 차원을 추정하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이형선형 사이클 분기가 표면 미분형사에서 비균일 초구형 역학을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 말뚝의 하우스도르프 차원은 분기 이후 비균일 초구형성의 출현에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 접촉에서 안정 및 불안정 다발의 상대 속도는 분기 근처의 역학적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 일반적인 매개변수 값에서 말뚝과 접촉 궤도 주변에서 안정점이나 불안정점의 부재를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ5 주어진 분기 하에서 불변 집합에 어떤 기하학적 및 역학적 구조(예: 평탄한 중심, 임계 사각형)가 나타나는가?

주요 결과

• 분기 근처의 대부분의 매개변수 값에서, 미분형사는 말뚝과 접촉 궤도 주변에서 비균일 초구형이다.
• 이 영역에서 안정점이나 불안정점이 없음을 보여, 주기적 수렴점이나 발산점의 부재를 의미한다.
• 전이 연산자와 갈리아 측도를 통해 불변 집합의 하우스도르프 차원을 추정하였으며, 불변 집합의 횡단 하우스도르프 차원은 양수이자 유한하다.
• 매개변수 공간의 구축은 강력한 정규성 조건에 기반하여, 임계 사각형의 수와 기하학적 왜곡이 제어됨을 보장한다.
• 횡단 관계는 유전적이고 볼록한 형태로 정밀화되어 반복된 사각형의 기하학적 제어를 귀납적으로 가능하게 한다.
• 예외 집합 E(ω*)의 하우스도르프 차원은 전체 불변 집합의 차원보다 엄밀히 작으며, 이는 비균일한 구조를 나타낸다.