[논문 리뷰] Non-unique ergodicity for deterministic and stochastic 3D Navier--Stokes and Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 17.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 새로운 스토케스적 볼록적통합 방법을 사용하여, 결정론적 및 확률적 3D 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대해 무수히 많은 정적이고 에르고딕한 해의 존재를 확립한다. 해들은 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ 정(regularity) 클래스에 속하며, 이 방법은 일관된 모멘트 유계를 제공하여, 비유일성에 의한 에르고딕성, 점성계수의 소멸한 극한, 이방성 소산과 같은 결과들을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We establish the existence of infinitely many stationary solutions, as well as ergodic stationary solutions, to the three dimensional Navier--Stokes and Euler equations in both deterministic and stochastic settings, driven by additive noise. These solutions belong to the regularity class $C(\mathbb{R};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}(\mathbb{R};L^{2})$ for some $\vartheta>0$ and satisfy the equations in an analytically weak sense. The solutions to the Euler equations are obtained as vanishing viscosity limits of stationary solutions to the Navier--Stokes equations. Furthermore, regardless of their construction, every stationary solution to the Euler equations within this regularity class, which satisfies a suitable moment bound, is a limit in law of stationary analytically weak solutions to Navier--Stokes equations with vanishing viscosities. Our results are based on a novel stochastic version of the convex integration method, which provides uniform moment bounds locally in the aforementioned function spaces.

연구 동기 및 목표

• 3D 스토케스적 및 결정론적 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대해 무수히 많은 정적이고 에르고딕한 해의 존재를 확립하는 것.
• 해의 비유일성 맥락에서 점성계수 소멸한 극한과 이방성 소산을 분석하는 것.
• 비판적 함수 공간에서 일관된 모멘트 유계를 제공하는 스토케스적 볼록적통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 비유일성이 병태적 현상이 아니라 일반적인 특성임을 보여주어 난류에서 물리적 에르고딕 가정을 뒷받침하는 것.
• 정적 조건하에서 고 레이놀즈 수 영역에서 해의 통계적 행동을 불변 측도와 정적 법칙을 통해 특성화하는 것.

제안 방법

• 추가 노이즈를 갖는 SPDE에 적합한 스토케스적 볼록적통합 방법의 변형을 도입하는 것.
• 반복적으로 근사 해 $v_{q+1}$ 와 레이놀즈 스트레스 $\mathring{R}_{q+1}$ 를 구성하며, $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ 에서 일관된 모멘트 유계를 확보하는 것.
• 부드러운 처리와 간헐적 제트 구성 기법을 사용하여 반복적 체계에서 정규성과 에너지 수준을 제어하는 것.
• 불변 측도와 에르고딕 정적 해의 존재를 보장하기 위해 스토케스적 매개변수와 무작위 편향을 활용하는 것.
• 최종 해와 스트레스 텐서의 정규성을 제어하기 위해 $\rho$, $a_{(\xi)}$, 및 $\gamma_\xi$ 에 대한 보간 및 노름 추정을 적용하는 것.
• 재귀적 추정과 보간을 통해 $\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}}$ 와 $\|\rho^{1/2}\|_{C^m_{t,x}}$ 의 유계를 확립하여, 필요한 함수 공간에서 수렴을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 스토케스적 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대해 무수히 많은 정적 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 해의 비유일성은 스토케스적 설정에서도 유지되며, 이를 에르고딕 정적 측도와 연결할 수 있는가?
• RQ3 새로운 구성 방식 하에서 점성계수 소멸한 극한 $\nu \to 0$ 에서 해의 거동는 어떠한가?
• RQ4 비유일성 해의 맥락에서 이방성 소산을 엄밀하게 관찰할 수 있는가?
• RQ5 스토케스적 볼록적통합 방법은 비판적 정규성 공간에서 일관된 모멘트 유계를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\vartheta>0$ 에 대해 정규성 클래스 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ 에서 무수히 많은 정적 해의 존재를 증명한다.
• 스토케스적 및 결정론적 3D 나비에-스토크스 및 올레르 방정식에 대해 에르고딕 정적 해의 존재를 확립한다.
• 스토케스적 볼록적통합 방법은 비판적 함수 공간에서 일관된 모멘트 유계를 제공하여 수렴성과 정규성 제어를 가능하게 한다.
• 점성계수 소멸한 극한이 분석되었으며, 나비에-스토크스 방정식의 해가 올레르 방정식의 해로 비유일하게 수렴하지 않음을 보여준다.
• 이방성 소산은 고 레이놀즈 수 영역에서 가능한 결과로 확인되었으며, 물리적 난류 이론과 일치한다.
• 필요한 정규성과 적분 가능성을 보장하기 위해 $\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}} \lesssim \ell^{-7-6N}(\|\mathring{R}_{q}\|_{C_{[t-1,t+1]}L^{1}}+1)^{N+1}$ 이 도출된다.