[논문 리뷰] Non-uniqueness in a nonlinear sharp interface model of cell motility

Leonid Berlyand, Volodymyr Rybalko외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 20.

Solidification and crystal growth phenomena인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 작은 인터페이스 폭 매개변수를 가진 단계장 시스템의 점점 감소하는 근사 극한을 분석하여 선형성이 아닌 날카운 인터페이스 모델을 유형세포의 이동성에 대해 연구한다. 1차원에서 날카운 인터페이스 극한을 엄밀히 정당화하고, 비선형 보정이 있는 평균 곡률 운동 방정식을 유도하며, 결합 매개변수의 크기에 따라 비유일성, 불연속적인 인터페이스 속도, 히스테리시스 및 진행파 해를 보여준다.

ABSTRACT

We consider a system of two coupled parabolic PDEs introduced in [1] to model motility of eukaryotic cells. We study the asymptotic behavior of solutions in the limit of a small parameter related to the width of the interface in phase field function (sharp interface limit). We formally derive an equation of motion of the interface, which is mean curvature motion with an additional nonlinear term. In a 1D model parabolic problem we rigorously justify the sharp interface limit. To this end, a special form of asymptotic expansion is introduced to reduce analysis to a single nonlinear PDE. Further stability analysis reveals a qualitative change in the behavior of the system for small and large values of the coupling parameter. Using numerical simulations we also show discontinuities of the interface velocity and hysteresis. Also, in the 1D case we establish nontrivial traveling waves when the coupling parameter is large enough.

연구 동기 및 목표

• 유형세포의 이동성에 대한 단계장 모델의 날카운 인터페이스 극한을 이해하기 위해.
• 1차원에서 타원형 단계장 시스템에서 인터페이스 운동 방정식으로의 점점 감소하는 근사 축소를 엄밀히 정당화하기 위해.
• 결합 매개변수의 영향을 분석하여 인터페이스 역학에 대한 안정성과 비유일성의 영향을 조사하기 위해.
• 시간에 따라 변화하는 설정에서 인터페이스 속도의 불연속성과 히스테리시스 효과를 수치 시뮬레이션을 통해 탐구하기 위해.
• 충분히 큰 결합 매개변수에 대해 1차원에서 비자명한 진행파 해의 존재를 확립하기 위해.

제안 방법

• 작은 인터페이스 폭 매개변수에 대한 점점 감소하는 근사 전개를 사용한 날카운 인터페이스 극한의 형식적 유도.
• 두 개의 결합된 PDE를 단일 비선형 PDE로 줄이기 위해 특수한 점점 감소하는 전개를 도입.
• 에너지 추정과 수렴 추론을 사용한 1차원 타원형 문제에서의 날카운 인터페이스 극한의 엄밀한 정당화.
• 감소된 인터페이스 방정식의 안정성 분석을 통해 임계 결합 매개변수 값에서의 행동 변화를 식별.
• 시간에 따라 변화하는 설정에서 인터페이스 속도의 불연속성과 히스테리시스를 조사하기 위한 수치 시뮬레이션.
• 충분히 큰 결합 매개변수에 대해 1차원 경우에서 비자명한 진행파 해의 존재 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인터페이스 폭이 0으로 갈수록 단계장 모델의 날카운 인터페이스 극한은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 날카운 인터페이스 극한에서 효과적인 인터페이스 운동 방정식의 형태는 무엇이며, 비선형성은 이를 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 결합 매개변수는 인터페이스의 안정성과 역학에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 인터페이스 속도가 불연속성 또는 히스테리시스를 보일 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 1차원 모델에서 비자명한 진행파 해가 존재하는가, 그리고 어떤 매개변수 영역에서 존재하는가?

주요 결과

• 날카운 인터페이스 극한은 추가적인 비선형 항이 있는 평균 곡률 운동 방정식을 도출하며, 이는 1차원에서 형식적이고 엄밀하게 유도된다.
• 결합 매개변수의 임계 값에서 행동의 질적 변화로 인해 해의 비유일성이 발생한다.
• 수치 시뮬레이션은 인터페이스 속도의 불연속성과 시간에 따라 변화하는 역학에서 히스테리시스의 존재를 확인한다.
• 큰 결합 매개변수에 대해 1차원에서 비자명한 진행파 해가 존재하며, 이는 지속적인 이동성의 가능성을 시사한다.
• 안정성 분석은 결합 매개변수가 증가함에 따라 시스템 행동에서 분기 유사 전이가 발생한다는 것을 드러낸다.