[논문 리뷰] Non-uniqueness in law of stochastic 3D Navier--Stokes equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 추가적, 선형 곱셈형, 비선형 원통형 소음 하에서 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식의 법칙에 대한 비유일성을 확립한다. 스토하스틱 볼록 적분 방법을 사용하여 확률적으로 강한 해이자 해석적으로 약한 해를 구성함으로써, 양의 확률로 에너지 부등식을 위반하는 해를 도출한다. 구성된 해는 갈레르킨 근사로부터 얻어진 해와는 다른 법을 가지며, 임의의 시간 간격 $[0,T]$, $T>0$ 에서 법칙에 대한 비유일성을 증명한다. 이 결과는 버크스터와 비콜의 결정론적 비유일성 프레임워크를 스토하스틱 환경으로 확장하며, 스토하스틱 유체역학 내부의 본질적 확률적 모호성을 부각시킨다.

ABSTRACT

We consider the stochastic Navier--Stokes equations in three dimensions and prove that the law of analytically weak solutions is not unique. In particular, we focus on three examples of a stochastic perturbation: an additive, a linear multiplicative and a nonlinear noise of cylindrical type, all driven by a Wiener process. In these settings, we develop a stochastic counterpart of the convex integration method introduced recently by Buckmaster and Vicol. This permits to construct probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a suitable stopping time. In addition, these solutions fail the corresponding energy inequality at a prescribed time with a prescribed probability. Then we introduce a general probabilistic construction used to extend the convex integration solutions beyond the stopping time and in particular to the whole time interval $[0,\infty)$. Finally, we show that their law is distinct from the law of solutions obtained by Galerkin approximation. In particular, non-uniqueness in law holds on an arbitrary time interval $[0,T]$, $T>0$.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 3D 나비에-스토크스 방정식이 다양한 소음 유형 하에서 법칙에 대한 비유일성을 확립하는 것.
• 볼록 적분 방법을 스토하스틱 환경으로 확장하여 확률적으로 강하고 해석적으로 약한 해를 구성할 수 있도록 하는 것.
• 특정 시간에 양의 확률로 에너지 부등식을 위반할 수 있는 이러한 해를 도출하는 것.
• 정지 시간 이후에도 전체 시간 간격 $[0,\infty)$ 에서의 해를 구성하기 위한 일반적인 확률적 연장 방법을 개발하는 것.
• 이러한 해의 법이 갈레르킨 근사로부터 얻어진 해의 법과 다름을 보여주어, 임의의 시간 간격 $[0,T]$ 에서 법칙에 대한 비유일성을 입증하는 것.

제안 방법

• 버크스터와 비콜의 볼록 적분 방법을 리프만 경로 이론과 스토하스틱 PDE 기법을 사용하여 스토하스틱 환경에 적응시키는 것.
• 반복적 볼록 적분 기반의 스킴을 통해 정지 시간까지의 확률적으로 강하고 해석적으로 약한 해를 구성하는 것.
• 빈도 스트레스와 에너지 편차의 폭발에 기반한 정지 시간을 정의하여, 그 시간까지 해가 정규성을 유지하도록 보장하는 것.
• 정지 시간 이후의 해를 전체 시간 간격 $[0,\infty)$ 에까지 연장하기 위한 일반적인 확률적 구성 방법을 도입하는 것.
• 와이너 과정의 리프만 경로 리프팅을 수행하고, 이토 및 리프만 경로 해석 방식에서의 스토하스틱 강제항을 다루기 위해 관련된 리프만 PDE를 푸는 것.
• 스토하스틱 시스템에서 유도된 리프만 PDE의 해가 유일함을 증명하여, 이토 해석과 리프만 경로 해석 간의 일致성을 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 소음이 있는 스토하스틱 3D 나비에-스토크스 방정식에서 법칙에 대한 비유일성이 성립하는가?
• RQ2 선형 곱셈형 및 비선형 원통형 소음에 대해서도 법칙에 대한 비유일성이 입증될 수 있는가?
• RQ3 스토하스틱 볼록 적분을 통해 구성된 해가 특정 시간에 양의 확률로 에너지 부등식을 위반하는가?
• RQ4 이러한 해는 확률적 연장 방법을 사용하여 시간에 따라 전역적으로 연장될 수 있는가?
• RQ5 이러한 해의 법이 갈레르킨 근사로부터 얻어진 해의 법과 다름을 보여주는가?

주요 결과

• 추가적, 선형 곱셈형, 비선형 원통형 소음 하에서 스토하스틱 3D 나비에-스토크스 방정식에 법칙에 대한 비유일성이 성립한다.
• 스토하스틱 볼록 적분 방법을 통해 구성된 해는 확률적으로 강하고 해석적으로 약하며, 특정 시간에 특정 양의 확률로 에너지 부등식을 위반한다.
• 이러한 해는 일반적인 확률적 연장 프레임워크를 사용하여 전체 시간 간격 $[0,\infty)$ 에서 전역적으로 연장될 수 있다.
• 이러한 해의 법은 갈레르킨 근사로부터 얻어진 해의 법과 다름을 보이며, 임의의 시간 간격 $[0,T]$ 에서 법칙에 대한 비유일성을 입증한다. $T>0$.
• 스토하스틱 시스템에서 유도된 리프만 PDE의 해는 유일하며, 거의 확실히 이토 해와 일치한다. 이는 스토하스틱 해석의 일致성을 보장한다.
• 해의 노름은 초기 자료와 소음 강도에 의해 제어되며, 이에 대한 경계는 리프만 경로의 정규성과 소음의 $\rho_{\alpha}(B)$-노름에 의존한다.