[논문 리뷰] Non-uniqueness of closed embedded non-smooth hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature

Yoshiki Jikumaru, Miyuki Koiso|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝⁿ⁺¹ 내에서 고정된 비등방성 평균 곡률(CAMC)을 갖는 닫힌 임bedded 초곡면의 유일성의 부재를 보여주며, ℝ³ 내에서 종수 0인 표면에 대해서도 마찬가지로 성립함을 보임. 비등방성 함수 γ를 C²로 구성함으로써, 비볼록인 경우에도 CAMC 초곡면이 존재함을 입증함. 등방성의 경우 최소화자로 Wulff 형태가 유일한 반면, 저자들은 비볼록인 γ가 Wulff 형태와 동형이 아닌 CAMC 초곡면을 생성할 수 있음을 보이며, 비등방성 평균 곡률 흐름에 대해 비자명한 자기유사 수축 해를 구성함.

ABSTRACT

An anisotropic surface energy is the integral of an energy density that depends on the normal at each point over the considered surface, and it is a generalization of surface area. The minimizer of such an energy among all closed surfaces enclosing the same volume is unique and it is (up to rescaling) so-called the Wulff shape. We prove that, unlike the isotropic case, there exists an anisotropic energy density function such that there exist closed embedded equilibrium surfaces with genus zero in the three-dimensional Euclidean space each of which is not (any homothety and translation of) the Wulff shape. We also give nontrivial self-similar shrinking solutions of anisotropic mean curvature flow. These results are generalized to hypersurfaces in the (n+1)-dimensional Euclidean space.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 임bedded CAMC 초곡면이 ℝⁿ⁺¹ 내에서 반드시 Wulff 형태와 동형이어야 하는지, 특히 위상적 또는 안정성 제약 조건 하에서 검토함.
• Wulff 형태가 매끄럽지 않거나 볼록이 아닐 경우 CAMC 초곡면이 동형과 이동에 대해 유일하다는 기대를 도전함.
• Wulff 형태와 동형이 아닌 닫힌 임bedded CAMC 초곡면이 존재하는 비볼록 비등방성 함수 γ의 명시적 예를 구성함.
• 비등방성 평균 곡률 흐름으로 이러한 결과를 확장하여 비자명한 자기유사 수축 해를 구성함.

제안 방법

• 구면 조화함수와 회전 대칭성을 이용하여 Sⁿ → ℝ>₀ 인 C² 비볼록 비등방성 함수 γ를 구성함.
• Wulff 형태를 이 매핑 하에 γ의 이미지로 특성화하기 위해 Cahn-Hoffman 매핑 ξγ(ν) = Dγ|ν + γ(ν)ν 를 정의함.
• Cahn-Hoffman 필드를 사용하여, 비등방성 평균 곡률가 일정한 조건을 만족하는 조각별 C² 약한 매장 X:M→ℝⁿ⁺¹ 를 정의함.
• γ에 대한 Cahn-Hoffman 매핑의 이미지가 Wulff 형태와 동형이 아닌 닫힌 임bedded 초곡면을 포함함을 증명함.
• 공식 Λ = (1/n)(−divₘDγ + nHγ) 를 사용하여 직접 계산을 통해 이러한 표면에서 비등방성 평균 곡률 Λ 가 일정함을 검증함.
• 특정 표면이 비등방성 평균 곡률 흐름 ∂Xₜ/∂t = Λₜξₜ 하에서 자기유사하게 진화함을 보여, 동일한 구성 방법을 비등방성 평균 곡률 흐름에 적용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 비등방성 함수 γ 에 대해 ℝⁿ⁺¹ 내에서 Wulff 형태와 동형이 아닌 닫힌 임bedded CAMC 초곡면이 존재할 수 있는가?
• RQ2 Wulff 형태가 매끄럽지 않거나 볼록이 아닐 경우, γ 가 비볼록일 때 CAMC 초곡면이 동형과 이동에 대해 유일성이 유지되는가, 특히 ℝ³ 내 종수 0 표면에 대해서도 마찬가지인가?
• RQ3 비볼록 비등방성 함수가 비등방성 평균 곡률 흐름의 비자명한 자기유사 수축 해를 유도하는가?
• RQ4 Cahn-Hoffman 매핑을 사용하여 Wulff 형태가 아닌 CAMC 표면의 명시적 예를 구성할 수 있는가?
• RQ5 γ 에 어떤 조건이 성립하면 모든 CAMC 초곡면이 Wulff 형태와 동형이 되며, 이러한 조건이 실패하는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 논문은 S¹ → ℝ>₀ 인 C∞ 함수 γ를 구성하여, 이는 비볼록이며 ℝ² 내에서 Wulff 형태 Wγ 와 동형이 아닌 닫힌 임bedded CAMC 곡선을 생성함.
• n=2 인 경우, S² → ℝ>₀ 인 C∞ 비볼록 γ를 구성하여, ℝ³ 내에서 종수 0인 닫힌 임bedded CAMC 표면이 존재함을 보임. 이 표면들은 Wγ 와 동형이 아님.
• 구성된 예시들은 Cahn-Hoffman 매핑 ξγ 의 이미지의 부분집합이며, 비등방성 평균 곡률이 일정하고 값이 -1임.
• 구성된 γ₂ 에 대한 Wulff 형태 Wγ₂ 는 매끄러운 표면이 아니며, 임베딩된 CAMC 표면들과 다름. 이 표면들은 조각별 C∞ 이며 Wγ₂ 와 동형이 아님.
• S² 상에서 γ₂ 와 그 Cahn-Hoffman 매핑 ξγ₂ 의 명시적 공식을 제공함. 이들의 이미지에는 서로 다른 여러 CAMC 표면이 포함되어 있음.
• 비등방성 평균 곡률 흐름에 대해 비자명한 자기유사 수축 해를 구성함. ∂Xₜ/∂t = Λₜξₜ 이며, Λₜ = -1/√(2(c−t)) 를 만족함으로써, 흐름 맥락에서의 비유일성을 입증함.