[논문 리뷰] Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations

Dallas Albritton, Elia Brué외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 06.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 동일한 외력 하에서 초기 조건이 0인 3차원 강제 네비에-스토크스 방정식에 대해 레일리–호프 솔루션의 유일성 부재를 증명한다. 이는 동일한 외력 하에서 두 개의 서로 다른 전역 솔루션을 구성함으로써 이루어지며, 유사성 변수에서 비선형 불안정성 분석을 통해 이루어진다. 이 방법은 비슈비크의 불안정한 2차원 소용돌이에서 유도된 컴팩트 지지 소용돌이 프로파일을 사용한다. 한 솔루션은 배경 솔루션의 불안정 다변수 위에 위치하며, 고전적 레일리 프레임워크가 임계 정칙성 임계점에서 유일성을 보장하지 못함을 증명한다.

ABSTRACT

In the seminal work [39], Leray demonstrated the existence of global weak solutions to the Navier-Stokes equations in three dimensions. We exhibit two distinct Leray solutions with zero initial velocity and identical body force. Our approach is to construct a `background' solution which is unstable for the Navier-Stokes dynamics in similarity variables; its similarity profile is a smooth, compactly supported vortex ring whose cross-section is a modification of the unstable two-dimensional vortex constructed by Vishik in [43,44]. The second solution is a trajectory on the unstable manifold associated to the background solution, in accordance with the predictions of Jia and Šverák in [32,33]. Our solutions live precisely on the borderline of the known well-posedness theory.

연구 동기 및 목표

• 동일한 초기 조건과 외력 하에서 3D 네비에-스토크스 방정식의 레일리–호프 솔루션의 유일성 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 초기 속도가 0이고 에너지가 유한한 적합한 약한 솔루션 클래스 내에서도 비유일성이 발생할 수 있음을 보여주기 위해.
• 유사성 변수에서의 비선형 불안정성에 기반하여 명시적인 서로 다른 레일리–호프 솔루션의 예를 구성하기 위해.
• 지아와 셔바크의 비유일성 예측을 엄밀한 불안정 다변수 위의 솔루션 구성으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 비슈비크의 불안정한 2차원 소용돌이에서 유도된 매끄럽고 컴팩트 지지 소용돌이 프로파일을 사용하여 유사성 변수에서 배경 솔루션을 구성한다.
• 축대칭 설정에서 배경 솔루션의 선형 불안정성 분석을 수행하여 지수 성장률 $ a > 0 $을 갖는 증가 모드를 식별한다.
• 유사성 변수에서 수정된 두하멜의 원리를 사용하여 비선형 방정식을 만족하는 펌정 $ U^\text{per} $를 구성하며, 지수 감쇠 $ O(e^{2\tau a}) $를 확보함으로써 솔루션이 임계 정칙성 공간에 남아 있도록 보장한다.
• 배경 솔루션의 잘린 형태인 $ \tilde{u} $를 사용하여 $ u = \tilde{u} + u^{\text{lin}} + u^{\text{per}} $ 형태의 솔루션 존재를 확립하며, 잘림은 자가유사 스케일링에 적합하게 조정된다.
• 모든 필요한 정칙성 및 적분 가능성 조건을 검증함으로써 에너지 부등식을 만족하고 적합한 레일리–호프 솔루션임을 증명한다.
• 소볼레프 공간에서 정밀한 감쇠 추정과 부트스트랩 추론을 사용하여 $ t > 0 $에서 솔루션의 매끄러움을 향상시키며, 그 정규성과 배경 솔루션과의 구별성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 데이터가 0이고 고정된 외력이 주어질 때, 3D 네비에-스토크스 방정식의 레일리–호프 솔루션의 비유일성이 엄밀하게 구성될 수 있는가?
• RQ2 유사성 변수 설정에서의 불안정 모드 존재가 임계 정칙성 영역에서 다수의 서로 다른 솔루션을 유도하는가?
• RQ3 자기유사 솔루션의 불안정 다변수를 이용하여 배경 솔루션과 다를 만한 두 번째 솔루션을 생성할 수 있는가?
• RQ4 에너지 부등식과 레일리–호프 솔루션에 요구되는 적합성 조건을 유지하면서 이러한 솔루션을 구성할 수 있는가?
• RQ5 비유일성 결과가 알려진 잘 정의된 이론의 경계에서 유지되는가, 특히 임계 $ L^2 $-기반 정칙성 프레임워크에서?

주요 결과

• 저자들은 동일한 외력 $ f \in L^1_t L^2_x $ 과 0 초기 데이터를 갖는 3D 네비에-스토크스 방정식에 대해 두 개의 서로 다른 적합한 레일리–호프 솔루션 $ u $ 와 $ \bar{u} $ 를 구성한다.
• 두 솔루션은 $ t > 0 $에서 모두 매끄럽고, 두 번째 솔루션은 유사성 변수에서 자기유사 배경 솔루션의 불안정 다변수 위에 위치한다.
• 이 구성은 비슈비크의 불안정한 2차원 소용돌이에서 유도된 소용돌이 프로파일에 기반한 비선형 불안정성 메커니즘에 의존하며, 선형화된 역학에서 지수 성장을 보인다.
• 펌정 $ u^{\text{per}} $ 는 유사성 시간 $ \tau $ 와 불안정성 비율 $ a > 0 $ 에 대해 지수 감쇠 $ O(e^{2\tau a}) $ 를 갖는 가중 소볼레프 공간 $ X $ 에서 존재함을 보여준다.
• 솔루션은 에너지 부등식을 만족하고 적합하며, 비유일성에도 불구하고 고전적 레일리–호프 프레임워크 내에 있음을 확인한다.
• 결과적으로, 레일리–호프 솔루션에 대한 알려진 잘 정의된 이론이 정확히 임계 정칙성 임계점에서 비유일성이 발생함을 증명한다.