[논문 리뷰] Non-uniqueness results for the anisotropic Calderon problem with data measured on disjoint sets

Thierry Daudé, Niky Kamran외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 22.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 다성분이 ц린더와 미분동형인 다성분의 이방성 칼라에르 문제에서, 딜리클레 및 뉴먼 데이터가 경계의 서로 다른 성분에서 측정될 경우의 비유일성을 확립한다. 스펙트럼 이론과 스펙트럼 동일 변형을 이용하여, 동일한 부분 딜리클레-뉴먼 맵을 갖는 서로 다른 잠재력의 무한차원 가중 가중치를 명시적으로 구성한다. 이는 데이터가 별개의 경계 부분에서 수집될 경우, 2차원 및 3차원 설정에서조차 유일성이 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we give some simple counterexamples to uniqueness for the Calderon problem on Riemannian manifolds with boundary when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint sets of the boundary. We provide counterexamples in the case of two and three dimensional Riemannian manifolds with boundary having the topology of circular cylinders in dimension two and toric cylinders in dimension three. The construction could be easily extended to higher dimensional Riemannian manifolds.

연구 동기 및 목표

• 디릴클레 및 뉴먼 데이터가 서로 다른 경계 성분에서 측정되는 부분 딜리클레-뉴먼 맵이, 이방성 칼라에르 문제에서 리만 메트릭과 잠재력을 고유하게 결정하는지 조사한다.
• 경계가 있는 다성분에서 역스펙트럼 문제의 비유일성이 발생하는 기하학적 및 분석적 조건을 규명한다.
• 스투름-리우빌 연산자의 이sov스펙트럼 변형을 이용하여, 이방성 칼라에르 문제에서 비유일성을 보여주는 명시적 반례를 구성한다.
• 기존의 전체 또는 局부 데이터에 대한 유일성 결과를 서로 다른 데이터 집합으로 확장하여, 데이터 영역 간의 겹침이 없을 경우 기하학적 메트릭과 잠재력의 식별 가능성에 근본적인 영향을 미친다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 구간과 토러스 또는 원주를 곱한 것으로 다성분를 모델링하고, 메트릭이 단일 변수에 의존하도록 하여 헬름홀츠 방정식에서 변수 분리를 가능하게 한다.
• 각도 변수에서의 푸리에 분해를 통해 이방성 칼라에르 문제를 일련의 1차원 스투름-리우빌 문제로 축소한다.
• 보르그-마르친코 정리를 사용하여 1차원 문제의 스펙트럼 자료와 잠재력 간의 관계를 설정하고, 이sov스펙트럼 잠재력을 구성할 수 있도록 한다.
• 고유함수의 로그 미분을 통해 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$ 형태의 명시적 잠재력 가중치를 $k \geq 1$ 및 $t \in \mathbb{R}$ 에 따라 매개변수화하여, 스펙트럼 자료를 유지하는 가중치를 구성한다.
• 웨일-티치마르쉬 함수를 통해 부분 딜리클레-뉴먼 맵을 유도하고, 이sov스펙트럼 잠재력이 서로 다른 성분에서 데이터가 측정될 경우 동일한 맵을 유도함을 보여준다.
• f = h 일 때, 1차원 문제의 스펙트럼 자료는 $q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$ 의 조합에만 의존하며, 이는 이sov스펙트럼 변형을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디릴클레 및 뉴먼 데이터가 서로 다른 경계 성분에서 측정되는 부분 딜리클레-뉴먼 맵이 이방성 칼라에르 문제에서 리만 메트릭과 잠재력을 고유하게 결정하는가?
• RQ2 서로 다른 데이터를 가진 이방성 칼라에르 문제에서 비유일성을 보일 수 있는 명시적 반례를 만들기 위해, 잠재력의 이sov스펙트럼 변형을 사용할 수 있는가?
• RQ3 딜리클레 및 뉴먼 데이터가 경계의 별개의 연결 성분에서 수집될 경우, 어떤 기하학적 및 분석적 조건에서 비유일성이 가능해지는가?
• RQ4 서로 다른 데이터일 경우, 관련 1차원 스투름-리우빌 문제의 스펙트럼 자료가 전체 딜리클레-뉴먼 맵과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 어떤 조건에서 웨일-티치마르쉬 함수가 서로 다른 데이터 세트가 존재할 경우 잠재력을 고유하게 결정하지 못하는가?

주요 결과

• 디릴클레 및 뉴먼 데이터가 서로 다른 경계 성분에서 측정될 경우, 이방성 칼라에르 문제에서 비유일성이 성립하며, 이는 2차원 및 3차원 원통형 다성분에서도 마찬가지이다.
• f = h 일 때, 주어진 잠재력 $V$ 와 동일한 부분 딜리클레-뉴먼 맵을 갖는 서로 다른 잠재력 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$ 의 무한차원 가중치를 명시적으로 구성할 수 있다.
• 이 구성은 고유함수의 로그 미분을 통한 1차원 스투름-리우빌 문제의 이sov스펙트럼 변형에 기반하며, $k \geq 1$ 및 $t \in \mathbb{R}$ 에 따라 매개변수화된다.
• f = h 일 때, 1차원 문제의 스펙트럼 자료는 $q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$ 의 조합에만 의존하며, 이sov스펙트럼 잠재력을 가능하게 한다.
• 부분 딜리클레-뉴먼 맵 $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$ 는 이러한 변형에 대해 불변이며, 이는 모든 $k \geq 1$, $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2) = \Lambda_{g,\tilde{V}_{\lambda,k,t},\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$ 를 의미한다.
• 반면, $\Gamma_D$ 와 $\Gamma_N$ 이 같은 연결 성분에 있을 경우, 1차원 문제의 스펙트럼 자료에 보르그-마르친코 정리를 적용함으로써 유일성이 성립함을 보여준다.