[논문 리뷰] Non-vanishing for cubic $L$--functions

Chantal David, Alexandra Florea외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 28.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 인 $\mathbb{F}_q[T]$ 위에서의 삼차 $L$-함수 중 중심 임계점 $s = 1/2$ 에서 영이 되지 않는 비율이 양수임을, 미리 조정된 모멘트와 Soundararajan, Harper, 그리고 Lester–Radziwiłł의 기법을 통해 유도된 두 번째 모멘트에 대한 날카운 상한을 사용하여 증명한다. 비율은 명시적이지만, 모멘트 상한에 포함된 큰 은닉 상수로 인해 매우 작다.

ABSTRACT

We prove that there is a positive proportion of $L$-functions associated to cubic characters over $\mathbb{F}_q[T]$ that do not vanish at the critical point $s=1/2$. This is achieved by computing the first mollified moment using techniques previously developed by the authors in their work on the first moment of cubic $L$-functions, and by obtaining a sharp upper bound for the second mollified moment, building on work of Lester-Radziwill, which in turn develops further ideas from the work of Soundararajan, Harper, and Radziwill-Soundararajan. We work in the non-Kummer setting when $q \equiv 2\pmod{3}$, but our results could be translated into the Kummer setting when $q\equiv 1\pmod{3}$ as well as into the number field case (assuming the Generalized Riemann Hypothesis). Our positive proportion of non-vanishing is explicit, but extremely small, due to the fact that the implied constant in the upper bound for the mollified second moment is very large.

연구 동기 및 목표

• 함수체 설정에서 중심 임계점 $s = 1/2$ 에서 삼차 $L$-함수가 영이 되지 않는 비율이 양수임을 확립하는 것.
• 이전의 이차 스위치 작업을 바탕으로, 미리 조정된 모멘트 방법을 삼차 $L$-함수로 확장하는 것.
• 최근의 모멘트 이론 발전을 활용하여 삼차 $L$-함수의 두 번째 미리 조정된 모멘트에 대한 날카운 상한을 확보하는 것.
• 모멘트 상한에 포함된 큰 은닉 상수가 영향을 미쳐 비율이 명시적이지만 매우 작다는 점을 보여주는 것.
• 비-Kummer 설정($q \equiv 2 \pmod{3}$)으로 결과를 확장하고, GRH 하에 Kummer 케이스 및 수체 설정으로의 적용 가능성을 제안하는 것.

제안 방법

• 이전 작업에서 일반화된 기법을 사용하여 $\mathbb{F}_q[T]$ 위에서 삼차 $L$-함수의 첫 번째 미리 조정된 모멘트를 계산한다.
• Soundararajan, Harper, 그리고 Lester–Radziwiłł이 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 모멘트에 대해 이룩한 돌풍적인 성과를 바탕으로 두 번째 미리 조정된 모멘트에 대한 날카운 상한을 적용한다.
• 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 첫 번째 및 두 번째 미리 조정된 모멘트로부터 영이 되지 않는 $L$-함수의 비율을 유도한다.
• 모든 단항 소다항식에 대한 오일러乘수로 미리 조정된 모멘트를 인수분해하고, 국소 인자에 대한 정밀한 추정을 수행한다.
• 소수다항식 정리와 지수합 추정을 적용하여 모멘트 渐近 분석에서 오차 항을 제어한다.
• 절단 파라미터 $J$ 와 이중 분할을 사용하여 모미피어에 포함된 저차수 다항식의 기여를 국소화함으로써 수렴성과 오차 제어를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 인 $\mathbb{F}_q[T]$ 위에서 삼차 $L$-함수 중 $s = 1/2$ 에서 영이 되지 않는 비율은 얼마인가?
• RQ2 높은 차수의 모멘트가 점점 더 알려져 있지 않은 상황에서, 미리 조정된 모멘트 방법을 삼차 $L$-함수로 확장할 수 있는가?
• RQ3 두 번째 미리 조정된 모멘트 상한에 포함된 은닉 상수의 크기는 얼마이며, 이는 영이 되지 않는 비율에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비-Kummer 설정에서의 영이 되지 않는 결과를 Kummer 설정 또는 GRH 하에 수체 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 미리 조정된 모멘트의 오일러乘수에 포함된 국소 인자는 전체 渐近 분석에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 인 $\mathbb{F}_q[T]$ 위에서 원시 삼차 디리클레 문자의 양수 비율이 $s = 1/2$ 에서 $L$-함수가 영이 되지 않음을 증명한다.
• 이 비율은 명시적이지만 매우 작으며, 두 번째 모멘트 상한에 포함된 큰 은닉 상수로 인해 $1 - \frac{1}{e^{e^{84}}}$ 이하로 하한이 제시된다.
• 첫 번째 미리 조정된 모멘트는 명시적으로 계산되었으며, 이는 이전의 삼차 $L$-함수 첫 번째 모멘트 결과를 일반화한 것이다.
• Soundararajan, Harper, 그리고 Lester–Radziwiłł의 기법을 활용하여 두 번째 미리 조정된 모멘트에 대한 날카운 상한을 확보하였다.
• 가장 악조건인 경우($q = 5$)에 모멘트의 주항목은 최소 $0.6143 \, q^{g+2}$ 로 하한이 제시되어 영이 되지 않는 비율에 대한 양수 하한을 보장한다.
• 이 방법은 비-Kummer 케이스($q \equiv 2 \pmod{3}$)에 적용 가능하며, Kummer 케이스($q \equiv 1 \pmod{3}$) 및 GRH 하에 수체 설정으로의 확장이 기대된다.