[논문 리뷰] Non-vanishing modulo p of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists

Miljan Brakočević|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 정수형 허수 이차체의 산술 허수 캐릭터에 관련된 올림피아 모듈라 형식과 테타 급수로부터 유도되는 코어스포름의 중심 임계 랭킨-셀버그 L-함수의, $\ell$-거듭제곱 차수를 가진 반순환 캐릭터에 의한 휨에 대해 모듈로 $p$에서의 비영성을 확립한다. 이 결과는 히다와 수의 이전 연구를 고차수 허수 캐릭터로 확장하며, 쌍대형 쌍대점의 자리지 밀도와 명시적 발트스부르거 공식에 기반한다.

ABSTRACT

We prove non-vanishing modulo p, for a prime $\ell$ different from p, of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists of $\ell$-power conductor. The L-function is Rankin product of a cusp form and a theta series of arithmetic Hecke character of an imaginary quadratic field. The paper is concerned with the case when the weight of Hecke character is greater than that of cusp form, so the L-value is essentially different in nature from the one in the landmark work of Vatsal and Cornut-Vatsal on the same theme.

연구 동기 및 목표

• 레벨 1 형식에서 임의의 레벨 $N \geq 1$ 과 비스피치 $\psi$를 가진 코어스포름으로 중심 임계 L-값의 모듈로 $p$에서의 비영성을 일반화한다.
• 이전 연구에서 $m=0$ 이었던 경우와 달리, $m \geq 0$ 인 $\infty$-형태 $(k+m, -m)$을 가진 산술 허수 캐릭터 $\lambda$로 결과를 확장한다.
• 코어스포름의 무게보다 허수 캐릭터의 무게가 더 클 경우, 고전적 설정과는 다름없는 L-값의 성격을 변화시키는 경우의 비영성을 확립한다.
• 특히 $N$을 나누는 비분할 소수에서의 비영성을 보장하기 위해, 반순환 휨의 차수에 대한 정확한 조건을 제시한다.
• 앞서 나올 동반 논문에서 반순환 $p$-진 L-함수의 $\mu$-인variant을 계산하는 데 기초를 마련한다.

제안 방법

• 히다가 [Hi04] 및 [Hi10a]에서 개발한, 모듈라 쌍대형 쌍대점의 자리지 밀도를 활용한다.
• 최근 [Hi10b]에서 계산된 명시적 발트스부르거 공식을 적용하여 L-값과 대수적 주기 사이의 관계를 규명한다.
• 기저 변화 이론을 $\mathrm{Res}_{M/\mathbb{Q}}G$ 에 적용하여 자동형 표현 $\pi_{\mathbf{f}}$ 와 관심 있는 L-함수를 연결한다.
• 충분한 분할을 가지며 $\ell$-거듭제곱 차수를 가진 $\chi_0$ 를 포함하는 허수 캐릭터 $\lambda = \lambda_0 \chi_0$ 를 구성한다. 이는 비영성을 보장한다.
• 체르보타레프 밀도 정리를 활용하여, $a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 를 만족하는 소수 $l$ 를 구성함으로써, L-값의 모듈로 $p$에서의 비영성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코어스포름과 테타 급수의 랭킨-셀버그 곱의 중심 임계 L-값이 모듈로 $p$에서 영이 되지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 허수 캐릭터의 무게가 $m > 0$ 인 경우, 이와 같은 L-값의 모듈로 $p$에서의 비영성은 코어스포름보다 더 높은 무게에서 어떻게 달라지나?
• RQ3 특히 $N$을 나누는 비분할 소수에서 비영성을 보장하기 위해 반순환 휨의 차수 깊이가 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 적절한 분할과 선형 독립성 조건 하에서 $\ell \mid N$ 인 경우에도 비영성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 이러한 L-함수의 대수적 특별값과 $p$-진 특별값은 어떻게 관련되어 있으며, 특히 $\mu$-인바리언트의 맥락에서 어떻게 연결되는가?

주요 결과

• 모든 $\ell$-거듭제곱 차수를 가진 반순환 휨 $\chi$ 중에서 양의 밀도를 가진 경우에 대해 중심 임계 L-값 $L(1/2, \hat{\pi}_{\mathbf{f}} \otimes \lambda^{-})$ 이 모듈로 $p$에서 비영이다.
• 비영성은 반순환 휨 $\chi_0$ 의 차수 $c_{ns} = \prod_{l \mid N_{ns}} l^{\tilde{\nu}(l)}$ 가 $\tilde{\nu}(l) \geq \nu(l)$ 를 만족함으로써 보장되며, 이는 비분할 소수에서 충분한 분할을 보장한다.
• 갈로아 표현 $K = \overline{\mathbb{Q}}^{\ker \bar{\rho}}$ 와 $\mathbb{Q}(\mu_{\ell^\infty})$ 가 선형 독립이면, $\ell \mid N$ 인 경우에도 결과가 성립한다.
• 특수 표현인 경우 $\pi_{\mathbf{f},\ell}$ 에 대해 비영성은 조건 없이 확립되며, $\ell \mid N$ 인 경우에도 성립한다.
• 비영성을 보장하기 위해 무한히 많은 소수 $l$ 이 존재하며, 이는 $a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 이고 $l \equiv v(r_0 q_0)^{-1} \pmod{\ell^s}$ 를 만족한다.