[논문 리뷰] Nonadiabatic Quantum Annealing for One-Dimensional Trasverse-Field Ising Model

Hitoshi Katsuda, Hidetoshi Nishimori|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장기적인 애디아바틱 진화를 반복적인 단시간 애니일링 시도로 대체하는 비애디아바틱 양자 애니일링 방법을 제안한다. 각 시도의 최종 상태를 수집하여 기저 상태를 식별한다. 1차원횡방향자기장 이징 모형에 대해 이론적·수치적으로 분석한 결과, 계산 복잡도는 O(N²)를 유지하며, 이는 애디아바틱 양자 애니일링과 동일하며, 외부 간섭에 대해 더 뛰어난 내구성을 지닐 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We propose a nonadiabatic approach to quantum annealing, in which we repeat quantum annealing in nonadiabatic time scales, and collect the final states of many realizations to find the ground state among them. In this way, we replace the diffculty of long annealing time in adiabatic quantum annealing by another problem of the number of nonsidabatic (short-time) trials. The one-dimensional transverse-field Ising model is used to test this idea, and it is shown that nonadiabatic quantum annealing has the same computational complexity to find the ground state as the conventional adiabatic annealing does. This result implies that the nonadiabatic method may be used to replace adiabatic annealing to avoid the effects of external disturbances, to which the adiabatic method is more prone than the nonadiabatic counterpart.

연구 동기 및 목표

• 에너지 갭이 지수적으로 작은 값인 NP-난이도 문제에서 장기적인 애니일링 시간 문제를 해결하기 위해.
• 짧은 비애디아바틱 시간 스케일을 사용하는 비애디아바틱 양자 애니일링이 애디아바틱 애니일링과 동일한 계산 복잡도를 달성할 수 있는지 탐색하기 위해.
• 기저 상태를 양자 스핀 시스템에서 찾는 데 있어 반복적인 비애디아바틱 시도의 실현 가능성과 효율성을 테스트하기 위해.
• 비애디아바틱 애니일링이 애디아바틱 방법에 비해 외부 간섭에 대해 더 강건한지 평가하기 위해.

제안 방법

• 각 주기의 지속 시간이 짧은 τ인 반복적인 비애디아바틱 양자 애니일링 사이클을 사용하며, 각 실행 후 최종 상태를 수집한다.
• 시간에 따라 변화하는 횡방향 자기장이 포함된 이징 해밀토니안을 시간에 따라 진동하는 모드로 분해하여 시간 진화를 모델링한다.
• 작은 q-모드에 대해서는 에너지 갭이 최소가 되는 t = τ/2 근처에서 랑주아-젠저 타입의 전이로 동역학을 근사한다.
• 단일 비애디아바틱 실행 후 기저 상태에 머무를 확률은 경로 적분 방법과 방산 함수를 사용하여 추정한다.
• 기저 상태를 찾는 데 필요한 평균 시도 횟수는 1/P_GS로 근사되며, 총 시간은 τ/P_GS로 분석되어 계산 복잡도를 도출한다.
• ln P_GS의 적분 표현에 점근적 근사를 적용하여 리만 제타 함수 ζ(3/2)를 포함하는 간단한 형태로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비애디아바틱 양자 애니일링이 1차원 횡방향자기장 이징 모형에서 애디아바틱 양자 애니일링과 동일한 계산 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 장기적인 애디아바틱 진화를 반복적인 단시간 비애디아바틱 시도로 대체할 경우, 최소 애니일링 시간의 O(N²) 스케일이 유지되는가?
• RQ3 비애디아바틱 접근 방식이 애디아바틱 방법에 비해 외부 간섭에 더 강건한가?
• RQ4 비애디아바틱 애니일링의 총 시간 τ/P_GS를 최소화하는 최적의 애니일링 시간 τ는 무엇인가?
• RQ5 기저 상태 확률 P_GS에 대한 분석적 근사가 슈뢰딩거 방정식의 수치적 해와 얼마나 잘 일치하는가?

주요 결과

• 1차원 횡방향자기장 이징 모형에 대한 비애디아바틱 양자 애니일링의 계산 복잡도는 O(N²)이며, 이는 애디아바틱 양자 애니일링과 동일하다.
• 총 시간 τ/P_GS를 최소화하는 최적의 애니일링 시간 τ는 τ = (N²/4π²) × ζ(3/2)²이며, 여기서 ζ(3/2) ≈ 2.61248이다.
• 기저 상태를 찾는 데 필요한 최소 총 시간은 약 1.27732 × N²로 스케일링되며, 이는 (N/2π × ζ(3/2))² × e²에서 유도된다.
• 개별 q-모드에 대한 슈뢰딩거 방정식의 수치적 해는 τ/P_GS가 O(N²)로 스케일링됨을 확인하여 분석 예측을 검증한다.
• 시도 횟수의 표준편차는 점근적 영역에서 지배적이지 않으며, O(N²) 복잡도를 유지함을 보여준다.
• 비애디아바틱 방법은 애디아바틱 진화에 비해 더 짧고 덜 민감한 시간 스케일을 가지므로, 외부 간섭에 대해 더 강건할 것으로 예상된다.