[논문 리뷰] Noncausal FIR Zames-Falb Multiplier Search for Exponential Convergence Rate

Jingfan Zhang, Peter Seiler외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 25.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Lur’e 시스템에서 지수 수렴 속도를 추정하기 위해 비인과적 유한 임펄스 응답(FIR) Zames-Falb 승수의 검색을 확장하며, 비인과적 승수가 인과적 또는 반인과적 경우보다 보다 낙관적인 안정성 경계를 제공함을 입증한다. 시간 도메인 IQC와 주파수 도메인 ρ-IQC 프레임워크 간의 등가성을 변수 변환을 통해 확립하고, 인과적, 반인과적, 비인과적 승수 모두에 적용 가능한 통합된 인수분해 방법을 제안하며, 수치 예제를 통해 개선된 수렴 속도 추정이 가능함을 검증한다.

ABSTRACT

In the existing literature, there are two approaches to estimate tighter bounds of the exponential convergence rate of stable Lure systems. On one hand, the classical integral quadratic constraint (IQC) framework can be applied under loop-transformation, so the stability of the new loop implies the convergence of the original loop. On the other hand, it is possible to modify the IQC framework, the so-called rho-IQC framework, in such a way that the convergence rate is directly obtained over the original loop. In this technical note, we extend the literature results from the search for a causal finite impulse response (FIR) Zames-Falb multiplier to the noncausal case. We show that the multipliers by the two approaches are equivalent by a change of variable. However, the factorisation of the Zames-Falb rho-IQC is restricted compared to the Zames-Falb IQC, so an unified factorisation is proposed. Finally, numerical examples illustrate that noncausal multipliers lead to less-conservative results.

연구 동기 및 목표

• Lur’e 시스템에서 지수 수렴 속도 추정을 위해 기존의 인과적 경우를 초월하여 비인과적 FIR Zames-Falb 승수의 활용을 확장한다.
• 비인과적 승수를 사용할 경우 변수 변환을 통해 시간 도메인 Zames-Falb IQC와 주파수 도메인 ρ-IQC 프레임워크 간의 등가성을 확립한다.
• IQC 및 ρ-IQC 프레임워크에서 모두 적용 가능한 인과적, 반인과적, 비인과적 FIR Zames-Falb 승수에 적합한 통합된 인수분해 구조를 개발한다.
• 비인과적 승수가 인과적 및 반인과적 대안보다 보다 낙관적인 수렴 속도 경계를 제공함을 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 기존의 Zames-Falb 승수 프레임워크를 비인과적 FIR 형태로 확장하여 보다 날카운 지수 수렴 속도 분석이 가능하도록 한다.
• 변수 변환을 적용하여 비인과적 승수를 사용할 경우 시간 도메인 Zames-Falb IQC와 주파수 도메인 ρ-IQC 프레임워크 간의 등가성을 입증한다.
• IQC 및 ρ-IQC 환경에서 모두 적용 가능한 인과적, 반인과적, 비인과적 FIR Zames-Falb 승수에 적합한 통합된 리프팅 기반 인수분해 방법을 제안한다.
• 주파수 도메인 조건을 계산 가능한 선형 행렬 부등식(LMI)으로 변환하기 위해 Kalman-Yakubovich-Popov(KYP) 보조정리를 활용한다.
• 다양한 시스템 불확실성과 최대 기울기를 가진 수치 예제를 활용하여 승수 유형 간 수렴 속도 추정을 비교한다.
• 비인과적 행렬 구조를 정확히 다루어 수치적 불안정성을 방지하기 위해 MATLAB 기반 수치 계산을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비인과적 FIR Zames-Falb 승수는 인과적 및 반인과적 승수보다 Lur’e 시스템에서 지수 수렴 속도 추정을 더 낙관적으로 제공할 수 있는가?
• RQ2 비인과적 승수를 사용할 경우 시간 도메인 Zames-Falb IQC와 주파수 도메인 ρ-IQC 프레임워크는 등가적인가?
• RQ3 IQC 및 ρ-IQC 프레임워크에서 모두 인과적, 반인과적, 비인과적 FIR Zames-Falb 승수를 일관되게 분석할 수 있는 통합된 인수분해 구조는 무엇인가?
• RQ4 이상적인 비선형성과 일반 비선형성을 가진 시스템에서 인과적, 반인과적, 비인과적 승수 유형은 수렴 속도 추정에 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 비인과적 승수의 MATLAB 기반 LMI 솔버에 대한 실용적 구현에 영향을 미치는 수치적 과제는 무엇인가?

주요 결과

• 비인과적 FIR Zames-Falb 승수는 특히 불안정성에 가까운 시스템에서 인과적 및 반인과적 승수보다 보다 낙관적인 수렴 속도 추정을 제공한다.
• 비인과적 승수를 사용할 경우 변수 교환을 통해 시간 도메인 Zames-Falb IQC와 주파수 도메인 ρ-IQC 프레임워크는 등가적이며, 식 (2)의 M(z)와 식 (3)의 M(ρz)는 상호 교환 가능하다.
• IQC 및 ρ-IQC 프레임워크에서 모두 인과적, 반인과적, 비인과적 FIR Zames-Falb 승수를 지원하는 통합된 리프팅 기반 인수분해를 제안하며, 이는 기존 인수분해의 구조적 제약를 해결한다.
• 칼만 추측을 위반하는 시스템(예: 예제 4)에서는 비인과적 승수가 반인과적 승수보다 뛰어난 성능을 보이며, K=12에서 반인과적 승수가 실패하는 동안 비인과적 승수는 여전히 유효하다.
• M(z)와 M(ρ,z)의 결과는 거의 동일하여 그 등가성을 확인하지만, M(ρ,z)는 더 큰 행렬을 사용하므로 더 높은 계산 비용을 유발한다.
• 이상적인 비선형성의 경우 최적 수렴 속도는 일반 비선형성의 경우보다 크지 않으며, 이는 후자의 경우 더 엄격한 ℓ₁-노름 제약 조건을 반영한다.