[논문 리뷰] Nonclassical Solutions of Fully Nonlinear Elliptic Equations II. Hessian Equations and Octonions

Nikolaï Nadirashvili, Serge Vladuts|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 16.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 21차원에서 완전비선형 타원형 헤시안 및 아이작스 방정식의 비고전적 점성 해를 구축한다. 이는 오кт로니온 입체형식 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 를 사용하여 이루어지며, 여기서 $ o_i \in \mathcal{O} $ 는 오кт로니온이다. $ 1 \leq \delta < 2 $ 에 대해 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 는 $ \mathbb{R}^{21} $ 에서 점성 해로 증명되며, 이러한 방정식에 대한 $ C^{1,\alpha} $ 정규성 한계의 날카로움을 보여준다.

ABSTRACT

We use the octonion algebra to construct singular solutions of Hessian fully nonlinear uniformly elliptic equations in 21 or more dimensions. The regularity of these solutions is the least possible one. The same is proven for Isaacs equtions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 정규성의 임계 임계 이하 차원에서 완전비선형 타원형 방정식에 대한 비고전적 점성 해의 존재를 보여주기 위해.
• 12차원에서의 허미션 수학적 해의 구성 방식을 24차원에서 오кт로니온을 사용하여 확장하고, 이를 21차원 부분공간으로 제한하기 위해.
• 오кт로니온 입체형식 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 가 최적의 정규성 $ C^{2-\varepsilon} $ 을 갖는 해를 생성함을 보여주며, 고전적 매끄러움을 위반함을 보여주기 위해.
• 동일한 함수가 헤시안 및 아이작스 유형 방정식 양쪽 모두를 만족함을 보여주어 알려진 정규성 결과의 최적성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 오кт로니온 입체형식 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 를 사용하여, 여기서 $ o_i \in \mathcal{O} $ 이며, $ \mathbb{R}^{24} $ 에서 차수 $ 3 - \delta $ 의 동차 함수 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 를 정의한다.
• $ w_\delta $ 를 $ \mathbb{R}^{24} $ 의 21차원 부분공간 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ 에 제한하여, 이 함수가 균일 타원형 방정식의 점성 해로 남아 있음을 보인다.
• 헤시안 $ D^2 w_\delta $ 를 분석하여, 이가 차수 $ 1 - \delta $ 의 동차 함수임을 보이고, 단위 구면에서 순서된 고유값으로의 사상 $ \Lambda $ 를 연구한다.
• 대칭군 $ \Sigma_{21} $ 를 포함한 군론적 및 대칭성 논증을 사용하여, 고유값이 순열에 따라 어떻게 행동하는지 제어한다.
• 이사스 방정식의 구조인 $ F(D^2 u) = \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $ 를 적용하며, 여기서 $ L_{ab} $ 는 탄성 상수 $ C $ 를 갖는 균일 타원형 연산자이다.
• 레마 5.1을 통한 증명: 임의의 $ x, y \in B \setminus \{0\} $ 에 대해, $ D^2 w_\delta(x) $ 와 $ D^2 w_\delta(y) $ 양쪽에 수직인 행렬 $ A \in K_C $ 가 존재하면, $ w_\delta $ 는 이사스 방정식의 점성 해가 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 24 이하의 차원에서 완전비선형 균일 타원형 헤시안 방정식에 비고전적 점성 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 오кт로니온 입체형식 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 는 21차원에서 헤시안 방정식의 특이 해를 생성하는가?
• RQ3 동일한 함수 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 는 21차원에서 균일 타원형 이사스 방정식의 점성 해인가?
• RQ4 완전비선형 타원형 방정식의 점성 해에 대한 정규성의 날카로운 임계값은 무엇이며, 특이 해를 구성함으로써 이를 초월할 수 있는가?
• RQ5 헤시안의 선형 조합의 엄격한 쌍곡성은 공통의 수직인 양의 정부호 행렬을 구성하는 데 사용될 수 있는가? 이를 통해 이사스 해 조건을 만족시킬 수 있는가?

주요 결과

• $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 는 $ \mathbb{R}^{24} $ 의 임의의 21차원 부분공간 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ 에 제한되었을 때, 단위 구 $ B \subset \mathbb{R}^{21} $ 에서 균일 타원형 헤시안 방정식의 점성 해가 된다. 이는 임의의 $ \delta \in [1, 2) $ 에 대해 성립한다.
• 해 $ w_\delta $ 는 충분히 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ C^{2 - \varepsilon} $ 에 속하며, 이는 일반적으로 $ C^{1,\alpha} $ 정규성 한계가 날카롭고 향상될 수 없음을 보여준다.
• 동일한 함수 $ w_\delta $ 는 $ \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $ 형식의 균일 타원형 이사스 방정식의 점성 해이기도 하다. 여기서 $ L_{ab} $ 는 균일 타원형 연산자이다.
• 증명은 임의의 두 점 $ x, y \in \mathbb{R}^{21} \setminus \{0\} $ 에 대해, $ D^2 w_\delta(x) $ 와 $ D^2 w_\delta(y) $ 양쪽에 수직인 행렬 $ A \in K_C $ 가 존재함에 기반한다. 이는 $ \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(x)) = \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(y)) = 0 $ 를 만족하며, 이는 이사스 조건을 함의한다.
• $ \alpha D^2 w_\delta(x) + \beta D^2 w_\delta(y) $ 가 모든 $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $ 에 대해 엄격한 쌍곡성을 가지므로, $ D^2 w_\delta(x) $ 와 $ D^2 w_\delta(y) $ 양쪽에 수직인 양의 정부호 행렬 $ Q \in K_C $ 가 존재하며, 이는 레마 5.2의 적용을 가능하게 한다.
• 이 구성은 카파레리-트루딩어의 $ C^{1,\alpha} $ 정규성 결과가 헤시안 경우조차도 최적임을 증명하며, 모든 $ \alpha > 0 $ 에 대해 $ C^{1,\alpha} $ 가 아닌 해를 제시함으로써 이를 입증한다.