[논문 리뷰] Noncommutative Ergodic Theorems

Anders Karlsson, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 적절한 거리 공간 위에서 등장하는 등장사슬의 곱에 대해 비가환 에르고딕 정리들을 수립한다. 적분 가능한 이동 조건 하에서 일반적인 궤적들은 선형 이격도를 보이거나 거리 수축에서 무작위 지오데식 광선으로 수렴한다. 주요 기여는 고전적 비르코프 및 킹먼 에르고딕 정리들을 비가환 설정으로 일반화한 것으로, 군 위의 랜덤 워크와 리만 피복 위의 브라운 운동에 응용된다.

ABSTRACT

We present recent results about the asymptotic behavior of ergodic products of isometries of a metric space X. If we assume that the displacement is integrable, then either there is a sublinear diffusion or there is, for almost every trajectory in X, a preferred direction at the boundary. We discuss the precise statement when X is a proper metric space and compare it with classical ergodic theorems. Applications are given to ergodic theorems for nonintegrable functions, random walks on groups and Brownian motion on covering manifolds.

연구 동기 및 목표

• 거리 공간 위에서 등장사슬의 곱을 포함하는 비가환 설정으로 고전적 에르고딕 정리를 일반화하기.
• 랜덤 등장사슬의 궤적이 거리 수축에서 선호되는 방향으로 수렴하는 조건을 설정하기.
• 리만 피복의 리우빌 성질과 브라운 운동 및 랜덤 워크의 도래 속도 사이의 관계를 연결하기.
• 연속 시간 확산 과정(브라운 운동)의 결과를 이산 시간 랜덤 워크로의 이산화를 통해 확장하기.
• 로컬로 컴act한 군에서 적절한 거리가 부여된 경우, 리우빌 성질이 성립할 때 랜덤 워크의 선형 드리프트가 완전히 하나의 특성에 의해 유래됨을 증명하기.

제안 방법

• 적절한 거리 공간의 거리 수축을 사용하여 궤적의 '무한대에서의 방향' 개념을 정의하기.
• 랜덤 등장사슬 하에서 이동 함수의 수열에 대해 부분합 에르고딕 정리(Kingman)를 적용하기.
• 푸르스텐베르그-라이온스-설리번 이산화를 활용하여 리만 피복 위의 브라운 운동과 기본군 위의 랜덤 워크를 연결하기.
• 피복 위의 유계 조화 함수가 Γ 위의 조화 함수와 대응되도록 군 Γ 위에 대칭 확률 측도 ν를 구성하기.
• ν의 일차 모멘트 존재성과 군 거리의 적절성을 이용해 랜덤 워크의 선형 드리프트 수렴을 보장하기.
• 브라운 운동의 도래 속도가 거의 확실히 0이 되는 것과 관련된 랜덤 워크의 드리프트가 0이 되는 것이 동치임을 증명하며, 확률적 성질과 기하학적 성질을 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 거리 공간 위에서 랜덤 등장사슬의 곱이 거리 수축에서 선호되는 방향으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 부분합 에르고딕 정리는 등장사슬을 포함하는 비가환 설정으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 유한 체적 리만 피복의 리우빌 성질과 그 위에서의 브라운 운동의 점근적 행동 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유한 체적 리만 피복 위의 브라운 운동의 도래 속도는 기본군 위의 랜덤 워크로의 이산화를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 리우빌 성질이 성립할 때, 국소적으로 컴팩트한 군 위의 랜덤 워크에서 선형 드리프트가 완전히 하나의 특성에 의해 유래되는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 적절한 거리 공간에서 적분 가능한 이동 조건 하에 일반적인 궤적들은 선형 이격도를 보이거나 거리 수축에서 무작위 지오데식 광선으로 수렴한다.
• CAT(0) 공간에서는 광선 근사 성질이 성립하며, 궤적이 무작위 지오데식 광선으로부터 O(1/n) 이내의 거리에 머무른다.
• 공간이 그로모프 하이퍼볼릭일 경우, 다른 R 위의 거리로의 변환을 통해 비적분 가능 함수에 대한 에르고딕 정리가 도출된다.
• 유한 체적 리만 피복의 리우빌 성질은 브라운 운동의 거의 확실한 선형 드리프트의 0이 되는 것과 동치이다.
• 브라운 운동을 이산화하여 얻는 랜덤 워크는 일차 모멘트를 가지며, 그 드리프트가 0이 되는 것은 브라운 운동의 도래 속도가 0이 되는 것과 동치이다.
• 비압축 군의 경우 피복은 리우빌이 아니며, 폴리사이클릭 군의 경우 피복은 리우빌이 되어, 기존 결과가 새로운 프레임워크를 통해 확인된다.