[논문 리뷰] Noncommutative free universal monodromy, pluriharmonic conjugates, and plurisubharmonicity

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 18.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유 보편 단일화 정리(Free Universal Monodromy theorem)를 수립하여, 연결된 자유 집합 위에서 비가환 자유 함수의 해석적 계속이 전역적으로 잘 정의되어 있음을 증명한다. 이는 전역적으로 정의된 플루리하모닉 함수의 공액수 존재, 국소적으로 가역인 함수가 전역적으로 가역이며, 해석적 계속에서 비자명한 코homology가 존재하지 않음을 의미한다. 또한 Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic 정리를 일반화하여, 균일하게 실해석적 자유 함수가 유일한 분해를 통해 볼록 함수와 해석적 함수의 합성의 실수부로 표현될 때이고, 그 역도 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We show that the monodromy theorem holds on arbitrary connected free sets for noncommutative free analytic functions. Applications are numerous-- pluriharmonic free functions have globally defined pluriharmonic conjugates, locally invertible functions are globally invertible, and there is no nontrivial cohomology theory arising from analytic continuation on connected free sets. We describe why the Baker-Campbell-Hausdorff formula has finite radius of convergence in terms of monodromy, and solve a related problem of Martin-Shamovich. We generalize the Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic theorem-- a uniformly real analytic free noncommutative function is plurisubharmonic if and only if it can be written as a composition of a convex function with an analytic function. The decomposition is essentially unique. The result is first established locally, and then Free Universal Monodromy implies the global result. Moreover, we see that plurisubharmonicity is a geometric property-- a real analytic free function plurisubharmonic on a neighborhood is plurisubharmonic on the whole domain. We give an analytic Greene-Liouville theorem, an entire free plurisubharmonic function is a sum of hereditary and antihereditary squares.

연구 동기 및 목표

• 비가환 자유 해석 함수에 대한 자유 보편 단일화 정리를 연결된 자유 집합 위에서 수립하는 것.
• 연결된 영역 위의 플루리하모닉 자유 함수가 전역적으로 정의된 플루리하모닉 공액수를 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 국소적으로 가역적인 자유 함수가 전역적으로 가역이며, 해석적 계속에서 비자명한 코homology가 발생하지 않음을 보이는 것.
• Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic 정리를 일반화하여, 균일하게 실해석적 자유 함수가 볼록 함수와 해석적 함수의 합성의 실수부로 유일하게 분해될 조건을 확립하는 것.
• 볼리하모닉성은 기하학적 성질임을 보여주며, 어떤 점의 근방에서 볼리하모닉성이면 전체 도메인에서 볼리하모닉성이 됨을 보이는 것.

제안 방법

• 연결된 자유 집합 내의 임의의 경로를 따라 해석적 계속이 전역적으로 연장됨을 보여, 자유 집합의 구조와 균일한 해석성의 성질을 활용하여 자유 보편 단일화 정리를 수립한다.
• 해당 함수의 도함수와 공액 도함수의 행동을 분석하기 위해 헨켈 행렬과 멱급수 전개를 이용한 아핀 실현을 사용한다.
• 해석적 함수와 코해석적 함수, 수축 가능한 전이 함수, 양의 준정적 행렬 커널을 포함하는 실현 공식을 통해 볼리하모닉 함수의 분해를 구성한다.
• 지역적 표현을 위한 레마 3.3에 기반하여, 해석적, 코해석적, 수축 가능한 성분들로 표현된 자유 볼리하모닉 함수의 표준 실현을 제공한다.
• 관찰 3.10은 실현을 행렬 확장으로 확장하여 수준 간의 구조를 유지하며, 단일화를 통한 전역 연장이 가능하게 한다.
• 분해의 유일성은 임의의 두 표현이 유니터리 동치와 잇기 쉬운 항목을 제외하고 동일함을 보여, 표준형과 유니터리 공액에 대한 불변성을 이용하여 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 역함수 정리와 같이 자유 대수적 맥락으로 확장될 수 있는 자유 보편 단일화 원리가 존재하는가?
• RQ2 비특이 자유 비가환 함수가 로그 또는 제곱근을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 자유 비가환 함수 이론에서 편미분방정식 이론은 무엇이며, 특히 존재성과 유일성에 관해 어떤가?
• RQ4 멱급수 계수의 헨켈 형 행렬 중 기하학적 양성성을 가지는 것은 무엇이며, 이러한 양성성에 대한 일반 정리는 존재하는가?
• RQ5 모든 자유 볼리하모닉 함수가 반드시 실해석적이거나, 비균일 실해석적일 수 있는가?

주요 결과

• 자유 보편 단일화 정리는 임의의 연결된 자유 집합에서 성립하여, 자유 함수의 해석적 계속이 전역적으로 잘 정의됨을 보장한다.
• 연결된 영역 위의 플루리하모닉 자유 함수는 전역적으로 정의된 플루리하모닉 공액수를 갖는다. 이는 국소적 장애 요소가 없음을 의미한다.
• 국소적으로 가역적인 자유 함수는 전역적으로 가역이며, 연결된 자유 집합에서 해석적 계속에 의해 비자명한 코homology가 발생하지 않는다.
• 균일하게 실해석적 자유 함수는 볼리하모닉임이 유일한 분해를 통해 볼록 함수와 해석적 함수의 합성의 실수부로 표현될 때이고, 그 역도 성립한다.
• 볼리하모닉성은 기하학적 성질이다: 어떤 실해석적 자유 함수가 어떤 점의 근방에서 볼리하모닉이면, 전체 연결 도메인에서 볼리하모닉이다.
• 해석적 Greene-Liouville 정리가 수립되었다: 모든 정수 자유 볼리하모닉 함수는 유전적 및 반유전적 제곱의 합으로 표현된다.