[논문 리뷰] Noncommutative Geometry and Conformal Geometry. II. Connes-Chern character and the local equivariant index theorem

Raphaël Ponge, Hang Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Getzler의 스케일링 방법과 열핵 점근적 해법에 기반한 등변적 Greiner-Hadamard 접근법을 조합하여 국소 등변적 지수 정리의 새로운 증명을 사용하여, 등변적 디라크 스펙트럴 트리플의 Connes-Chern 특성함수를 계산한다. 핵심 결과는 순환 코호몰로지에서 연속 코chains의 Connes-Chern 특성함수에 대한 명시적 공식으로, CM 코호몰로지 족을 통한 검증과 함께 JLO 코호몰로지의 단시간 극한을 계산하는 데 응용된다.

ABSTRACT

This paper is the second part of a series of papers on noncommutative geometry and conformal geometry. In this paper, we compute explicitly the Connes-Chern character of an equivariant Dirac spectral triple. The formula that we obtain for which was used in the first paper of the series. The computation has two main steps. The first step is the justification that the CM cocycle represents the Connes-Chern character. The second step is the computation of the CM cocycle as a byproduct of a new proof of the local equivariant index theorem of Donnelly-Patodi, Gilkey and Kawasaki. The proof combines the rescaling method of Getzler with an equivariant version of the Greiner-Hadamard approach to the heat kernel asymptotics. Finally, as a further application of this approach, we computate the short-time limit of the JLO cocycle of an equivariant Dirac spectral triple.

연구 동기 및 목표

• 등변적 디라크 스펙트럴 트리플의 Connes-Chern 특성함수를 연속 코chains의 순환 코호몰로지에서 명시적으로 계산하기.
• CM 코호몰로지 족이 표준 주기적 코호몰로지가 아니라 연속 순환 코호몰로지에서 Connes-Chern 특성함수를 나타내는지 정당화하기.
• 스케일링과 Greiner-Hadamard 열핵 기법을 조합하여 국소 등변적 지수 정리의 새로운 증명을 제공하기.
• 등변적 디라크 스펙트럴 트리플에 대한 JLO 코호몰로지의 단시간 극한을 계산하기.
• 비가환 기하학에서 등변적 및 경계 설정에 열핵 방법의 적용 범위를 확장하기.

제안 방법

• C^\flat(M) \rtimes G의 연속 주기적 순환 코호몰로지에서 Connes-Chern 특성함수의 대표자로 CM 코호몰로지 족의 사용.
• Getzler의 스케일링 방법을 사용하여 등변 설정에서 열핵 점근적 해법을 분석하기.
• b-메트릭과 등변 연산자에 대한 열핵 전개에 대해 Greiner-Hadamard 접근법을 등변 설정으로 적응하기.
• 다양분기 등변 열핵 기법을 사용하여 열핵 추적 점근적 해법 유도하기.
• 고차항 점근 전개를 단순화하기 위해 항등식 $ I_{(H_R + \partial_t)^{-(m+1)}}(x,t) = \frac{1}{m!} t^m I_{(H_R + \partial_t)^{-1}}(x,t) $의 사용.
• Grassmann 변수와 $ S^1 $-교차를 피하기 위해, 전이된 JLO 코호몰로지와 $ t=0 $에서의 적분 가능성에 기반하여 JLO 코호몰로지의 단시간 극한 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등변적 디라크 스펙트럴 트리플의 Connes-Chern 특성함수는 연속 순환 코호몰로지에서 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 CM 코호몰로지 족이 $ \mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) $에서 Connes-Chern 특성함수를 나타내는 조건은 무엇인가?
• RQ3 스케일링과 Greiner-Hadamard 방법의 조합을 통해 국소 등변적 지수 정리를 재증명할 수 있는가?
• RQ4 등변적 디라크 스펙트럴 트리플에 대한 JLO 코호몰로지의 단시간 극한은 무엇인가?
• RQ5 Grassmann 변수나 $ S^1 $-교차와 같은 보조 구조 없이 전이된 JLO 코호몰로지의 $ t=0 $에서의 적분 가능성은 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 등변적 디라크 스펙트럴 트리플의 Connes-Chern 특성함수는 열추적 점근적 해법에 의해 정당화되어 $ \mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) $에서 CM 코호몰로지 족으로 표현된다.
• 스케일링 방법과 열핵 점근적 해법에 기반한 등변 버전의 Greiner-Hadamard 접근법을 조합하여 국소 등변적 지수 정리의 새로운 증명이 확립된다.
• JLO 코호몰로지의 단시간 극한은 $ \gamma_\phi(Q)(0) = \frac{1}{(2q)!}(-i)^{n/2}(2\pi)^{-a/2} |\omega^{(\bullet,0)} \wedge \hat{A}(R^{TM^\phi}(0)) \wedge \nu_\phi(R^{\mathcal{N}^\phi}(0))|^{(a,0)} $로 명시적으로 계산된다.
• 다양분기 등변 열핵 기법을 사용하여 열핵 추적의 점근 전개가 도출되었으며, 이는 CM 코호몰로지 족이 Connes-Chern 특성함수를 나타내는 조건의 검증을 가능하게 한다.
• 전이된 JLO 코호몰로지의 $ t=0 $에서의 적분 가능성은 레미마 8.4와 정리 4.22를 통해 확립되었으며, 이는 이전의 Grassmann 변수나 $ S^1 $-교차 방법을 피하는 데 성공한다.
• 이 접근법은 경계 설정으로까지 확장되어, 경계가 있는 다양체에 대한 b-메트릭에서의 상대 JLO 코호몰로지의 단시간 극한 계산이 가능해진다.