[논문 리뷰] Noncommutative Gravity and Quantum Field Theory on Noncommutative Curved Spacetimes

Alexander Schenkel|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 03.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 43인용 수 11

한 줄 요약

이 학위논문은 변형 양자화와 호프 대수 방법을 사용하여 비가환 중력 및 비가환 시공간 위의 양자장이론을 위한 프레임워크를 개발한다. 대칭 축소를 비가환 중력으로 확장하고, 아벨 드린펠트 트위스트를 통해 프리드만-로버트슨-워커 및 색르시르스키 시공간의 일관된 변형을 분류하며, 비국소적이고 UV 개선된 동역학을 갖는 대수적 양자장이론을 구축한다. 주요 결과로는 고전적 메트릭을 갖는 정확한 비가환 해와 비정상적인 λ² 보정을 갖는 변형된 그린 연산자가 존재한다.

ABSTRACT

The focus of this PhD thesis is on applications, new developments and extensions of the noncommutative gravity theory proposed by Julius Wess and his group. In part one we propose an extension of the usual symmetry reduction procedure to noncommutative gravity. We classify in the case of abelian Drinfel'd twists all consistent deformations of spatially flat Friedmann-Robertson-Walker cosmologies and of the Schwarzschild black hole. The deformed symmetry structure allows us to obtain exact solutions of the noncommutative Einstein equations in many of our models. In part two we develop a new formalism for quantum field theory on noncommutative curved spacetimes by combining methods from the algebraic approach to quantum field theory with noncommutative differential geometry. We also study explicit examples of deformed wave operators and find that there can be noncommutative corrections even on the level of free field theories. The convergent deformation of simple toy models is investigated and it is found that these theories have an improved behaviour at short distances, i.e. in the ultraviolet. In part three we study homomorphisms between and connections on noncommutative vector bundles. We prove that all homomorphisms and connections of the deformed theory can be obtained by applying a quantization isomorphism to undeformed homomorphisms and connections. The extension of homomorphisms and connections to tensor products of bimodules is clarified. As a nontrivial application of the new mathematical formalism we extend our studies of exact noncommutative gravity solutions to more general deformations.

연구 동기 및 목표

• . 비가환 중력에 대한 대칭 축소를 확장하여 비가환 아인슈타인 방정식의 정확한 해를 구성하는 것.
• . 비가환 곡률 시공간 위의 양자장이론을 위한 엄밀한 대수적 형식을 개발하는 것.
• . 양자화 동형사상(quantization isomorphism)을 사용하여 비가환 벡터 다발 위의 접속과 준동형사상을 위한 수학적 프레임워크를 구축하는 것.
• . 아벨 드린펠트 트위스트를 사용하여 비가환 대칭 시공간인 FRW와 색르시르스키 시공간의 일관된 비가환 변형을 분류하는 것.
• . 모일-베일 변형을 초월하여 자유 장 이론에서의 비가환 보정과 그의 UV 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• . 아벨 드린펠트 트위스트를 통한 변형 양자화를 적용하여 고전적 시공간 기하학을 변형하는 것.
• . 양자화 동형사상을 사용하여 비가환 설정으로의 고전적 준동형사상과 접속을 올리는 것.
• . 비틀린 미분법을 통해 비가환 곡률 시공간 위의 스칼라 양자장이론을 위한 관측량 대수를 구성하는 것.
• . 파동 연산자의 페르투르바티브 전개를 통해 O(λ²)까지 변형된 그린 연산자를 유도하는 것.
• . 브레인드 군 기법을 도입하여 R-텐서 곱의 결합법칙을 도표적으로 증명하는 것.
• . 양자화 동형사상에 의해 변형된 양자장이론과 고전적 양자장이론 간의 정확한 관계를 설정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 비가환 중력으로의 대칭 축소를 어떻게 일반화하여 비가환 아인슈타인 방정식의 정확한 해를 찾을 수 있는가?
• RQ2 . 아벨 드린펠트 트위스트 하에서 평탄한 공간적 FRW와 색르시르스키 시공간의 일관된 비가환 변형은 무엇인가?
• RQ3 . 비가환 보정은 곡률 시공간 위의 자유 양자장 이론에서 어떻게 나타나며, UV 행동을 개선하는가?
• RQ4 . 비가환 미분기하학을 사용하여 비가환 곡률 시공간 위에 엄밀한 대수적 양자장이론을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 . 비가환 벡터 다발 위의 접속과 준동형사상은 양자화 과정에서 어떻게 변형되며, 그 전역적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• . 많은 정확한 해에서 비가환 메트릭 장은 비정상적인 비가환 변형에도 불구하고 고전적 메트릭과 일치한다.
• . 변형된 그린 연산자는 비정상적인 O(λ²) 보정을 보이며, 민코프스키 시공간에서 운동량 공간에서의 명시적 표현이 도출되었다.
• . 변형된 파동 연산자는 국소적으로 변형되지 않았지만, 적외선 정규화 없이도 그린 연산자가 존재하여, 국소성 가정은 충분하지만 필수적인 것은 아님을 보여준다.
• . 변형된 양자장이론과 고전적 양자장이론 간의 관계는 비정상적이며, 이는 비가환 QFT에서 개선된 UV 행동으로 이어진다.
• . 모든 비가환 준동형사상과 접속은 그 고전적 대응에 양자화 동형사상을 적용함으로써 유도된다.
• . R-텐서 곱과 관련된 브레인드 관계는 도표적 방법으로 증명되었으며, 대수적 계산에 비해 더 직관적인 대안을 제공한다.