[논문 리뷰] Noncommutative hyperbolic geometry on the unit ball of $B(H)^n$

Gelu Popescu|ArXiv.org|2008. 10. 03.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유 창조 연산자와 관련된 복원 연산자에 의해 정의되는 비가환 단위 구의 비가환 쌍곡 거리 δ를 도입한다. 이 거리 δ는 자유 헬름르프틱 자기동형사상에 대해 불변이며, 연산자 노름과 같은 위상과 일치하고, 구가 완비 거리공간이 되게 한다. 핵심 결과는 계약 가능한 자유 헬름르프틱 함수가 δ에 관해 거리 감소성을 갖는 비가환 슈바르츠-픽 보조정리이다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a hyperbolic distance $δ$ on the noncommutative open ball $[B(H)^n]_1$, where $B(H)$ is the algebra of all bounded linear operators on a Hilbert space $H$, which is a noncommutative extension of the Poincare-Bergman metric on the open unit ball of $C^n$. We prove that $δ$ is invariant under the action of the group $Aut([B(H)^n]_1)$ of all free holomorphic automorphisms of $[B(\cH)^n]_1$, and show that the $δ$-topology and the usual operator norm topology coincide on $[B(H)^n]_1$. Moreover, we prove that $[B(H)^n]_1$ is a complete metric space with respect to the hyperbolic metric and obtained an explicit formula for $δ$ in terms of the reconstruction operator. A Schwarz-Pick lemma for bounded free holomorphic functions on $[B(H)^n]_1$, with respect to the hyperbolic metric, is also obtained.

연구 동기 및 목표

• B(H)^n의 단위 구에서 파oincaré-Bergman 쌍곡 거리의 비가환 동반체를 개발하는 것.
• 비가환 구의 자유 헬름르프틱 자기동형사상에 대해 불변인 쌍곡 거리 δ를 확립하는 것.
• δ가 연산자 노름과 같은 위상을 유도하고 비가환 구를 완비 거리공간으로 만드는 것을 보여주는 것.
• 계약 가능한 자유 헬름르프틱 함수에 대해 비가환 슈바르츠-픽 보조정리를 증명하는 것.
• Harnack 부분과 자유 함수 이론을 사용하여 고전적 쌍곡 기하학을 비가환 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 비가환 단위 구를 B(H)^n 내의 n-튜플 (X₁,…,Xₙ)의 집합으로 정의하며, ||∑XᵢXᵢ*||^{1/2} < 1을 만족한다.
• 완전 포크 공간 위에서의 오른쪽 창조 연산자 Rᵢ를 사용하여 복원 연산자 R_X = ∑Xᵢ*⊗Rᵢ를 정의하고, 이를 통해 쌍곡 거리 δ를 도입한다.
• 비가환 구의 자유 헬름르프틱 자기동형사상 군에 대해 δ가 불변임을 증명한다.
• δ 위상과 비가환 구에서의 연산자 노름 위상 간의 일致를 보여준다.
• δ에 대한 코시 수열이 수렴함을 증명하여 비가환 구가 δ에 대해 완비임을 확립한다.
• 복원 연산자 R_X의 스펙트럼 반경을 이용한 δ의 명시적 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B(H)^n의 비가환 단위 구에서 파oincaré-Bergman 거리의 일반화인 쌍곡 거리가 존재하는가?
• RQ2 이 쌍곡 거리 δ는 비가환 구의 자유 헬름르프틱 자기동형사상 군의 작용에 대해 불변인가?
• RQ3 δ 위상은 비가환 구에서 표준 연산자 노름 위상과 일치하는가?
• RQ4 비가환 구가 쌍곡 거리 δ에 대해 완비인가?
• RQ5 계약 가능한 자유 헬름르프틱 함수에 대해 비가환 슈바르츠-픽 보조정리를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 쌍곡 거리 δ는 자유 헬름르프틱 자기동형사상 군에 대해 불변이다: 모든 Ψ ∈ Aut([B(H)^n]₁)에 대해 δ(Ψ(X),Ψ(Y)) = δ(X,Y)이다.
• δ 위상과 연산자 노름 위상은 [B(H)^n]₁에서 일致한다.
• 비가환 단위 구 [B(H)^n]₁은 쌍곡 거리 δ에 대해 완비 거리공간이다.
• 복원 연산자 R_X와 관련된 스펙트럼 반경을 이용한 δ의 명시적 공식이 제시된다.
• H = C일 경우, 거리 δ는 C^n의 단위 구에서 고전적 파oincaré-Bergman 거리와 일치한다.
• 비가환 슈바르츠-픽 보조정리가 성립한다: 모든 계약 가능한 자유 헬름르프틱 함수 F에 대해, 모든 X,Y ∈ [B(H)^n]₁에 대해 δ(F(X),F(Y)) ≤ δ(X,Y)이다.