[논문 리뷰] Noncommutative localization and chain complexes I. Algebraic K- and L-theory

Amnon Neeman, Andrew Ranicki|ArXiv.org|2001. 09. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 대수적 K- 및 L-이론에서 비환형 국소화를 연구하기 위해 삼각 범주 프레임워크를 수립하며, 유한 생성 프로젝티브 모듈의 유한 복합체가 $\sigma^{-1}R$ 상에서 $R$ 상에서의 복합체로 올라가기 위한 필요충분조건으로 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ for $i \geq 1$ 를 증명함으로써, 고전적 국소화 정확수열을 비환형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The noncommutative (Cohn) localization S^{-1}R of a ring R is defined for any collection S of morphisms of f.g. projective left R-modules. We exhibit S^{-1}R as the endomorphism ring of R in an appropriate triangulated category. We use this expression to prove that if S^{-1}R is "stably flat over R" (meaning that Tor^R_i(S^{-1}R,S^{-1}R)=0 for i>0) then every bounded f.g. projective S^{-1}R-module chain complex D with [D] \in im(K_0(R)-->K_0(S^{-1}R)) is chain equivalent to S^{-1}C for a bounded f.g. projective R-module chain complex C, and that there is a localization exact sequence in higher algebraic K-theory >... --> K_n(R) --> K_n(S^{-1}R) --> K_n(R,S) --> K_{n-1}(R) --> ..., extending to the left the sequence obtained for n<2 by Schofield. For a noncommutative localization S^{-1}R of a ring with involution R there are analogous results for algebraic L-theory, extending the results of Vogel from quadratic to symmetric L-theory.

연구 동기 및 목표

• 환의 비환형 국소화에 대해 고전적 국소화 정확수열을 대수적 K- 및 L-이론으로 일반화하기.
• 사슬 복합체의 올림 문제 해결: 어떤 유한 복합체 $C$ 에 대해 유한 생성 프로젝티브 $R$-모듈의 유계 복합체가 $\sigma^{-1}C$ 와 심의 동치가 되는가?
• 국소화 함자 $\sigma^{-1}R$ 상에서 완전 복합체의 수준에서 동치를 유도하는 조건을 특성화하기.
• 삼각 범주 기법을 사용하여 비환형 설정으로 Vogel의 대칭 $L$-이론 결과를 확장하기.
• 국소화가 단사적일 경우, 국소화 수열의 상대 $K$- 및 $L$-군이 토르 $L$-군과 동형임을 확립하기.

제안 방법

• 비환형 국소화 $\sigma^{-1}R$ 를 적절한 사슬 복합체의 삼각 범주에서 $R$ 의 자기준동형사상의 링으로 표현하기.
• 삼각 범주에서의 Bousfield 국소화를 사용하여 국소화 함자를 구성하고 그 호모로지적 성질을 분석하기.
• $\sigma$-호모로지가 0인 복합체의 전체 부분범주 $D(R,\sigma)$ 를 정의하고, 몫 범주 $D(R)/D(R,\sigma)$ 를 연구하기.
• 함자 $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$ 를 구성하고, $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ for $i \geq 1$ 이면 오직 그 때에만 이것이 동치임을 증명하기.
• Waldhausen의 근사 및 국소화 정리를 적용하여 $R$, $\sigma^{-1}R$, 상대 $K$-군 $K_n(R,\sigma)$ 의 $K$-군을 연결하기.
• $\operatorname{Tor}^R_1(T,T)$ 를 포함하는 분별삼각형을 사용하여 $\epsilon$-대칭 및 $\epsilon$-이차 토르 $L$-군을 분석하고, 이를 상대 $L$-군과 일치시키기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 생성 프로젝티브 $\sigma^{-1}R$-모듈의 유계 복합체가 어떤 유계 복합체 $C$ 의 $\sigma^{-1}C$ 와 사슬 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 국소화 함자 $T$ 가 $R$ 과 $\sigma^{-1}R$ 상의 완전 복합체의 삼각 범주 간에 동치를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 비환형 설정에서 상대 $K$-군 $K_n(R,\sigma)$ 와 $R$ 및 $\sigma^{-1}R$ 의 $K$-군 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 비환형 국소화의 $L$-이론은 어떻게 토르 형식과 상대 $L$-군을 통해 기술할 수 있는가?
• RQ5 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R)$ 는 고차 $K$- 및 $L$-이론에서 국소화 정확수열의 타당성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 국소화 함자 $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$ 는 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ for all $i \geq 1$ 이면 오직 그 때에만 동치이며, 이는 사슬 복합체의 올림 조건을 특성화한다.
• 고차 대수적 $K$-이론에서 국소화 정확수열이 존재한다: $\dots \to K_n(R) \to K_n(\sigma^{-1}R) \to K_n(R,\sigma) \to K_{n-1}(R) \to \dots$, 이는 Schofield의 결과를 $n \geq 2$ 로 확장한다.
• 상대 $K$-군 $K_n(R,\sigma)$ 는 $\sigma$-호모로지가 0인 복합체의 범주에서의 $K_n$-군과 동형이며, $K_0$-동치는 $R$ 의 $K_0$-이미지가 $K_0(\sigma^{-1}R)$ 에 전사적으로 사상될 때 정확히 성립한다.
• 인비olution이 있는 비환형 국소화 $R \to \sigma^{-1}R$ 에 대해 상대 $L$-군 $L_n(R,\sigma,\epsilon)$ 은 토르 $L$-군 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$ 과 동형이며, 이는 Vogel의 결과를 대칭 $L$-이론으로 확장한다.
• $\epsilon$-이차 토르 $L$-군은 4주기성을 가진다: $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon) \cong L^\text{tor}_{n+4}(R,\sigma,\epsilon)$, 그리고 국소화 수열의 상대 $L$-군은 정확히 이러한 토르 군들이다.
• $R \to \sigma^{-1}R$ 가 단사적일 경우, 국소화 수열의 상대 $L$-군은 토르 $L$-군 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$ 과 동형이며, 이는 Vogel의 추측을 비환형 케이스에서 확인한다.