[논문 리뷰] Noncommutative Lp modules

Marius Junge, David K. Sherman|ArXiv.org|2003. 01. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 비가환 $L^p$ 모듈을 $L^{p/2}$-값을 가진 내적을 통해 도입하여 힐버트 C*-모듈을 일반화하고 콘느의 $L^2$ 공간 이론을 $L^p$로 확장한다. 핵심 결과는 $L^p$ 이중모듈($p \neq 2$)이 거의 자명하다는 것이다: $\mathcal{M}$-$\mathcal{N}$ $L^p$-이중모듈이 존재하는 것은 $\mathcal{M}$과 $\mathcal{N}$이 모리타 동치일 때에만 가능하며, 이 경우 모듈의 구조는 아벨 핵심 위의 $p$-직접적분으로 줄어든다.

ABSTRACT

We construct classes of von Neumann algebra modules by considering ``column sums" of noncommutative L^p spaces. Our abstract characterization is based on an L^{p/2}-valued inner product, thereby generalizing Hilbert C*-modules and representations on Hilbert space. While the (single) representation theory is similar to the L^2 case, the concept of L^p bimodule (p not 2) turns out to be nearly trivial.

연구 동기 및 목표

• 비가환 $L^p$ 공간에 대한 표현 이론을 $L^2$의 경우를 초월하여 개발함으로써 힐버트 공간 이론과 힐버트 C*-모듈 이론과 유사하게 하기.
• 가장 일반적인 $L^2$ 및 $L^\infty$ 경우를 일반화하는 $L^{p/2}$-값을 가진 내적을 통해 $L^p$ 모듈을 특성화하기.
• $L^p$ 이중모듈의 구조를 조사하고, $L^p$ 대응관계의 풍부한 범주가 존재하는지 여부를 규명하기.
• 특히 $\sigma$-유한인 경우에 대해 비가환 $L^p$ 공간 위의 von Neumann 대수에 대한 $p$-직접적분 구조 수립하기.
• 모리타 동치가 $L^p$ 이중모듈 이론에서 차지하는 역할을 명확히 하여, $p \neq 2$일 때 존재성의 유일한 장벽임을 보여주기.

제안 방법

• 일반화된 $L^{p/2}$-값을 가진 내적을 사용하여 비가환 $L^p$ 공간의 '열'로 $L^p$ 모듈을 구성한다.
• 헤이거프의 $L^p(\mathcal{M})$ 구축법을 적용하여 $\widetilde{\mathcal{M}} = \mathcal{M} \rtimes_\sigma \mathbb{R}$의 교차곱에서 $\tau$-측정 가능한 연산자로 표현하며, 이는 이중 작용에 의해 $1/p$-스케일링된다.
• 모듈러 이론과 일반화된 헬더 부등식을 사용하여 콘느의 $L^2$ 공간 이론을 $L^p$ 설정으로 번역한다.
• 상대적 텐서곱 $\otimes_{\mathcal{N},p,q,r}$를 사용하여 $L^q$-모듈 간의 함자를 정의하고 표현 범주의 동치를 확립한다.
• 중앙 분해를 통해 $L^p$ 이중모듈을 분석하여, 아벨 부분은 힐버트 공간의 $p$-직접적분이 되며, 비아벨 부분은 대수들이 모리타 동치일 경우에만 비자명하다는 것을 보인다.
• 일반화된 쌍대성 $L^p \otimes_{\mathcal{M}} L^q \simeq L^r$ ($1/p + 1/q = 1/r$)를 활용하고, $qC^p(\mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{N},p,q,r} R^p(\mathcal{N})q \simeq L^p(\mathcal{M})$를 통해 텐서곱 동형을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 $L^p$ 공간에 대해 $L^2$ 및 $L^\infty$ 경우를 일반화하는 표현 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 $L^p$ 모듈의 구조는 von Neumann 대수 위에서 어떻게 되며, 힐버트 C*-모듈과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 $p \neq 2$일 때 비자명한 $L^p$ 이중모듈이 존재하는가, 만약 존재한다면 어떤 조건에서 존재하는가?
• RQ4 표현 범주의 동치를 실현하는 상대적 텐서곱의 $p$-해석이 존재하는가?
• RQ5 모리타 동치는 $L^p$ 이중모듈 존재성에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $1 < p < \infty$, $p \neq 2$, 그리고 대수가 $\sigma$-유한일 때, $\mathcal{M}$-$\mathcal{N}$ $L^p$-이중모듈이 존재하는 것은 $\mathcal{M}$과 $\mathcal{N}$이 모리타 동치일 때에만 가능하다.
• $L^p$ 이중모듈의 비아벨 부분은 자명하다: 비아贝尔 중심 지지 위에서의 왼쪽 및 오른쪽 작용은 서로의 컴플리먼트이다.
• 이중모듈의 아벨 부분은 측도 공간 $(X,\mu)$ 위의 힐버트 공간의 $p$-직접적분과 동형이며, $z\mathcal{M} = z\mathcal{N} \simeq L^\infty(X,\mu)$이다.
• 상대적 텐서곱 $\otimes_{\mathcal{N},p,q,r}$는 $\mathcal{N}$ 위의 $L^q$-모듈과 $\mathcal{M}$ 위의 $L^r$-모듈 간의 함성적 동치를 정의하며, 역함수는 반대 모듈을 통해 주어진다.
• $\mathfrak{X} \otimes_{\mathcal{N},p,q,r} \bar{\mathfrak{X}} \simeq L^p(\mathcal{M})$의 동형이 성립하여 쌍대성과 범주 간의 동치가 검증된다.
• 이 구성은 $L^2$ 및 $L^\infty$ 경우를 일반화한다: $p=2$일 때는 힐버트 공간 표현을 회복하고, $p=\infty$일 때는 표준적인 $\mathcal{M}$-모듈의 구조를 회복한다.