[논문 리뷰] Noncommutative multi-parameter Wiener-Wintner type ergodic theorem

Guixiang Hong, Mu Sun|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비가환 추적 보존 동역계에 대한 비가환, 다중 매개변수 확장된 위너-윈터 에르고딕 정리 수립한다. $\mathcal{D}$ 라는 가중치 클래스를 도입하며, 이는 유계 베식로비치 클래스보다 엄밀히 큰 클래스이며, 비가환 최대부등식과 오르리치 공간 원자 분해를 이용하여 이 클래스에 대한 개별적이고 균일한 에르고딕 수렴을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a multi-parameter version of Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for dynamical systems not necessarily being commutative. More precisely, we introduce a weight class $\mathcal{D}$, which is shown to strictly include the multi-parameter bounded Besicovitch weight class, thus including the set $$Λ_d=\left\{\{λ^{k_1}_1\dotsmλ^{k_d}_d\}_{(k_1,\dots,k_d)\in \mathbb{N}^d}:\quad (λ_1,\dots,λ_d) \in \mathbb{T}^d ight\};$$ then prove a multi-parameter Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for the class $\mathcal{D}$ and for noncommutative trace preserving dynamical system $(\mathcal{M},τ,\mathbf{T})$. Restricted to consider the set $Λ_d$, we also prove a noncommutative multi-parameter analogue of Bourgain's uniform Wiener-Wintner ergodic theorem. The noncommutativity and the multi-parameter induce some difficulties in the proof. For instance, our arguments in proving the uniform convergence for a dense subset turn out to be quite different since the "pointwise" argument does not work in the noncommutative setting; to obtain the uniform convergence in the largest spaces, we show maximal inequality between the Orlicz spaces, which can not be deduced easily using classical extrapolation argument. Junge and Xu's noncommutative maximal inequalities with optimal order, together with the atomic decomposition of Orlicz spaces, play an essential role in overcoming the second difficulty.

연구 동기 및 목표

• 고전적 위너-윈터 에르고딕 정리를 비가환, 다중 매개변수 동역계로 확장하기.
• 유계 베식로비치 클래스를 엄밀히 포함하는 새로운 가중치 클래스 $\mathcal{D}$ 를 정의하고 분석하기.
• 비가환 $L_p$-공간에서 클래스 $\mathcal{D}$ 에 대해 개별적이고 균일한 에르고딕 수렴을 증명하기.
• 에르고딕 수렴 증명에서 발생하는 비가환성과 다중 매개변수 구조로 인한 과제를 극복하기.
• 집합 $\Lambda_d$ 에 대해 부르간의 균일한 위너-윈터 정리의 비가환 해석을 수립하기.

제안 방법

• 스펙트럼 측도와 상관 함수를 이용하여 유계 베식로비치 클래스를 일반화한 가중치 클래스 $\mathcal{D}$ 를 도입하기.
• 준지와 슈의 최적 순서 비가환 최대부등식을 활용하여 오르리치 공간에서 상한을 제어하기.
• 가장 넓은 함수 공간에서 수렴을 다루기 위해 오르리치 공간의 원자 분해를 적용하기.
• 비가환 최대 함수 추정을 통해 밀도 있는 부분집합에서의 균일 수렴을 확립하여 점별 증명을 피하기.
• 비가환 $L_p$-공간에서 $a \in \mathcal{D}$ 에 대해 가중 평균 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} a(k) T^k(x)$ 의 수렴을 증명하기.
• 스펙트럼 측도와 보르-푸리에 급수 기법을 사용하여 $\mathcal{D}$ 에 속하는 수열을 이산 스펙트럼 측도와 절대 수렴하는 푸리에 급수로 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위너-윈터 에르고딕 정리는 비가환, 다중 매개변수 동역계로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비가환 $L_p$-공간에서 개별 에르고딕 수렴이 성립하는 가장 큰 가중치 클래스는 무엇인가?
• RQ3 점별 증명이 실패하는 비가환 환경에서 균일 수렴은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 비가환 최대부등식과 오르리치 공간 기법은 위너-윈터 정리를 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다중 매개변수 시스템에 대해 부르간의 균일한 위너-윈터 정리의 비가환 해석은 존재하는가?

주요 결과

• $\mathcal{D}$ 가 유계 베식로비치 클래스보다 엄밀히 크다는 것이, $a(\mathbf{k}) = (-1)^{[\log(k_1+\cdots+k_d+1)]}$ 를 통한 반례로 입증된다.
• 모든 $f \in L_p(\mathcal{M}, \tau)$ 에 대해 $1 \leq p \leq \infty$ 이면, 모든 $a \in \mathcal{D}$ 에 대해 가중 평균 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n a(k) T^k(f)$ 가 $L_p$-노름에서 수렴한다.
• 균일 수렴은 비가환 $L_p$-설정에서 $a \in \mathcal{D}$ 에 대해 성립하며, 오르리치 공간의 최대부등식을 통해 달성된다.
• $\mathcal{D}$ 에 속하는 수열의 스펙트럼 측도 $\sigma_\mathbf{a}$ 는 이산적이며 $\mathbb{T}^d$ 에 대해 지지되며, $\sigma_\mathbf{a} = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \delta_{\mathbf{z}_\alpha}$ 이고 $\sum C_\alpha < \infty$ 이다.
• $\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z}) = \lim_n \frac{1}{|\mathbf{n}+1|} \sum_{\mathbf{k}=0}^{\mathbf{n}} a(\mathbf{k}) \bar{\mathbf{z}}^{\mathbf{k}}$ 의 진폭이 존재하며, $|\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z})|^2 = \sigma_\mathbf{a}(\{\mathbf{z}\})$ 를 만족한다.
• $\mathcal{D}$ 는 스펙트럼 측도, 상관 함수, 진폭 조건으로 특성화되며, $\mathbf{a} \in \mathcal{D}$ 이다 $\Longleftrightarrow \gamma_\mathbf{a}(\mathbf{m}) = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \mathbf{z}_\alpha^{\mathbf{m}}$ 이고 $\sum C_\alpha < \infty$ 이다.