[논문 리뷰] Noncommutative residue for Heisenberg manifolds. Applications in CR and contact geometry

Raphaël Ponge|ArXiv.org|2006. 07. 12.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히젠베르크 다양체 위의 히젠베르크 미분형식 연산자(ΨH DOs)에 대해 비가환 잔여적 트레이스를 구성한다. 이는 연산자 트레이스를 비정수 차수로 해석적 계속을 통해 정의하고, 그와 동시에 스웨츠 핵의 로그 특이성 밀도의 적분과 일치시킨다. 주요 결과는 이 잔여적 트레이스가 정수 차수 ΨH DOs의 대수에서 스칼라 배수를 제외하고 유일한 트레이스라는 것이다. 이는 CR 기하학과 접촉 기하학 분야에서 스펙트럼 불변량과 기하학적 부피 정의에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper has four main parts. In the first part, we construct a noncommutative residue for the hypoelliptic calculus on Heisenberg manifolds, that is, for the class of Heisenberg PsiDOs introduced by Beals-Greiner and Taylor. This noncommutative residue appears as the residual trace on integer order Heisenberg PsiDOs induced by the analytic extension of the usual trace to non-integer order Heisenberg PsiDOs. Moreover, it agrees with the integral of the density defined by the logarithmic singularity of the Schwartz kernel of the corresponding Heisenberg PsiDO. In addition, we show that this noncommutative residue provides us with the unique trace up to constant multiple on the algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the second part, we give some analytic applications of this construction concerning zeta functions of hypoelliptic operators, logarithmic metric estimates for Green kernels of hypoelliptic operators, and the extension of the Dixmier trace to the whole algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the third part, we present examples of computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and the contact Laplacian on contact manifolds. In the fourth part, we present two applications in CR geometry. First, we give some examples of geometric computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and of the Kohn Laplacian. Second, we make use of the framework of noncommutative geometry and of our noncommutative residue to define lower dimensional volumes in pseudohermitian geometry, e.g., we can give sense to the area of any 3-dimensional CR manifold. On the way we obtain a spectral interpretation of the Einstein-Hilbert action in pseudohermitian geometry.

연구 동기 및 목표

• 히젠베르크 다양체 위의 초타당성 계산에 대해 비가환 잔여적 트레이스를 정의함으로써, 타원적 설정으로 일반화된 워디치키의 잔여적을 확장한다.
• 정수 차수 ΨH DOs의 대수에서 이 트레이스가 스칼라 배수를 제외하고 유일함을 입증한다.
• 잔여적을 초타당성 연산자의 제타 함수, 그린 핵의 추정, 딕스미에르 트레이스 확장에 적용한다.
• 접촉 다양체에서 수평 부분라플라시안과 접촉 라플라시안의 거듭제곱에 대한 비가환 잔여적을 계산한다.
• 퍼세우히르미티안 기하학에서의 하위차원 부피를 정의하고 아인슈타인-힐베르트 작용의 스펙트럼적 해석을 제공한다.

제안 방법

• 비정수 차수 ΨH DOs로의 연산자 트레이스의 해석적 계속을 통해 비가환 잔여적을 구성한다.
• ΨH DO의 스웨츠 핵의 로그 특이성에서 유도되는 밀도의 적분과 잔여적을 식별한다.
• 히젠베르크 미분형식에 대한 로그 특이성 밀도의 함의성(functoriality)을 이용하여 전역 불변성을 확보한다.
• 스웨츠 핵의 특성과 교환자 구조를 이용하여 정수 차수 ΨH DOs에서 트레이스의 유일성을 증명한다.
• 잔여적을 초타당성 연산자의 제타 함수에 적용하여 잔여적과 열핵 점근 해석 간의 연결을 맺는다.
• 국소 인덱스 공식을 유도하고, 웨일 점근 해석을 비가환 잔여적의 관점에서 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히젠베르크 다양체 위의 초타당성 계산에 대해, 타원적 연산자에 대한 워디치키의 잔여적과 유사한 비가환 잔여적을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 비가환 잔여적은 정수 차수 ΨH DOs의 대수에서 스칼라 배수를 제외하고 유일한 트레이스인가?
• RQ3 비가환 잔여적은 퍼세우히르미티안 기하학에서 하위차원 부피와 같은 기하학적 불변량을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 CR 기하학의 맥락에서 아인슈타인-힐베르트 작용의 스펙트럼적 해석은 무엇인가?
• RQ5 잔여적을 이용하여 초타당성 연산자에 대한 국소 인덱스 공식과 웨일 점근 해석을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• ΨH DOs에 대한 비가환 잔여적은 정수 차수 연산자에서 스칼라 배수를 제외하고 유일한 트레이스로 특징지어지며, 이는 타원적 설정에서 워디치키의 결과를 초타당성 설정으로 일반화한다.
• 잔여적은 스웨츠 핵의 로그 특이성 밀도의 음의 적분으로 나타나며, 이는 전역적으로 정의되고 히젠베르크 미분형식에 대해 불변이다.
• 접촉 다양체에서 수평 부분라플라시안과 접촉 라플라시안에 대해 그 거듭제곱에 대한 비가환 잔여적의 명시적 계산이 제공된다.
• 잔여적을 통해 퍼세우히르미티안 기하학에서 하위차원 부피, 예를 들어 임의의 3차원 CR 다양체의 면적을 정의할 수 있다.
• 초타당성 ΨH DO의 제타 함수는 유리형이며, 잔여적은 비가환 잔여적으로 표현 가능하여 스펙트럼 데이터와 기하학적 불변량을 연결한다.
• 비가환 잔여적은 퍼세우히르미티안 기하학에서 아인슈타인-힐베르트 작용의 스펙트럼적 해석을 제공하며, 이는 비가환 기하학에서의 역할을 확장한다.