[논문 리뷰] Noncommutative vector valued $L_p$-spaces and completely $p$-summing maps

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|1993. 06. 07.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 281

한 줄 요약

이 논문은 연산자 공간의 맥락에서 비가환 벡터 값 $L_p$-공간에 대한 새로운 이론을 제안하며, 그 이중성과 보간 성질을 확립한다. 완전히 $p$-합성 맵을 $p$-절대적으로 합성 가능한 맵의 연산자 공간 버전으로 정의하고, Effros-Ruan의 $p=1$ 경우를 일반화하며, Pietsch 유사 인수분해 정리를 증명한다. 주요 결과로는 이러한 맵이 연산자 공간 $OH$와 슈하텐 클래스와 어떻게 연결되는지를 밝힌다.

ABSTRACT

Let $E$ be an operator space in the sense of the theory recently developed by Blecher-Paulsen and Effros-Ruan. We introduce a notion of $E$-valued non commutative $L_p$-space for $1 \leq p < \infty$ and we prove that the resulting operator space satisfies the natural properties to be expected with respect to e.g. duality and interpolation. This notion leads to the definition of a ``completely p-summing" map which is the operator space analogue of the $p$-absolutely summing maps in the sense of Pietsch-Kwapień. These notions extend the particular case $p=1$ which was previously studied by Effros-Ruan.

연구 동기 및 목표

• 고전적 $L_p$-이론을 비가환 설정으로 확장하여 연산자 공간에 값이 있는 비가환 $L_p$-공간 이론을 개발한다.
• 고전적 $p$-절대적으로 합성 가능한 맵의 연산자 공간 버전으로서 완전히 $p$-합성 맵의 개념을 정의하고 연구한다.
• 최근 정의된 $E$-값을 가진 비가환 $L_p$-공간에 대한 이중성과 보간 성질을 확립한다.
• 완전히 $p$-합성 맵에 대해 비가환 Pietsch 인수분해 정리의 비슷한 결과를 증명한다.
• 완전히 $p$-합성 노름이 $OH$-인수분해 노름과 슈하텐 클래스 노름과 어떻게 관련되어 있는지 밝히며, 특히 $p=2$의 경우를 중심으로 분석한다.

제안 방법

• 복소 보간을 통해 $1 < p < ∞$ 에 대해 $S_p[E] = (S_{p_0}[E], S_{p_1}[E])_\theta$ 를 정의하며, $\theta = 1/p$ 이고, 이전 연구에서 얻은 연산자 공간의 구조를 활용한다.
• 최소 텐서 tích $S_{\infty}[E] = S_\infty \otimes_m E$ 와 $S_1[E] = S_1 \otimes_\wedge E$ 의 복소 보간을 통해 $S_p[E]$ 를 구성한다.
• 사상 $u: E \to F$ 가 완전히 $p$-합성임을 $I_{S_p} \otimes u$ 가 $S_p \otimes_m E \to S_p[F]$ 로 유계적으로 연장될 때로 정의하며, $\pi_p^0(u) = \|\tilde{u}\|$ 로 놓는다.
• 연산자 공간 $OH(I)$ 의 구조와 $S_2[E] \cong OH(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times I)$ 의 식별을 이용하여 $p=2$ 맵이 $OH$-인수분해와 어떻게 연결되는지 분석한다.
• 비가환 Fubini 유사 정리 증명: $S_p[K; S_p[L; E]] \cong S_p[K \otimes_2 L; E]$ 가 완전히等거리적으로 성립함을 보인다.
• 초곱의 표현을 통한 증명: 임의의 완전히 $p$-합성 맵 $u$ 에 대해, $S_{2p}(\tilde{H})$ 의 단위공 안에 있는 넷 $(a_\alpha), (b_\alpha)$ 가 존재하여 $\|u(x_{ij})\| \leq \pi_p^0(u) \lim_{\mathcal{U}} \|a_\alpha \pi(x_{ij}) b_\alpha\|_{M_n(S_p(\tilde{H}))}$ 를 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 공간 $E$ 에 값을 가진 비가환 $L_p$-공간을 어떻게 정의할 수 있을까? 이때 이중성과 보간 성질이 유지되도록 해야 한다.
• RQ2 연산자 공간의 범주에서 $p$-절대적으로 합성 가능한 맵의 올바른 비가환 대응은 무엇인가?
• RQ3 완전히 $p$-합성 맵에 대해 Pietsch 유사 인수분해 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 완전히 $p$-합성 맵은 연산자 공간 $OH$ 와 슈하텐 클래스와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 차원이 $n$ 인 연산자 공간에서 항등사상의 완전히 $p$-합성 노름의 정확한 값은 얼마인가?

주요 결과

• 모든 $n$-차원 연산자 공간 $E$ 에 대해 항등사상의 완전히 $2$-합성 노름은 $\pi_2^0(I_E) = n^{1/2}$ 를 만족한다.
• 완전히 유계적인 동형사상 $u: E \to OH_n$ 가 존재하여 $\|u\|_{cb} \|u^{-1}\|_{cb} \leq n^{1/2}$ 를 만족한다.
• 완전히 유계인 사영 $P: B(H) \to E$ 가 존재하여 $\|P\|_{cb} \leq n^{1/2}$ 를 만족한다.
• 모든 사상 $u: E \to OH(J)$ 에 대해 완전히 $2$-합성 노름은 $\pi_{2,oh}$-노름과 일치한다: $\pi_2^0(u) = \pi_{2,oh}(u)$.
• 모든 사상 $u: OH(I) \to OH(J)$ 에 대해 힐베르트-슈미트 노름은 $\pi_2^0(u)$ 와 $\pi_{2,oh}(u)$ 와 일치한다.
• 사상 $u: E \to F$ 가 $\Gamma_{oh}(E,F)$ 에 속함은 모든 $n$ 과 모든 $v: F \to OH_n$ 에 대해 $\pi_2^0((vu)^*) \leq C \pi_2^0(v)$ 를 만족하는 $C > 0$ 가 존재함과 동치이며, 이때 $\gamma_{oh}(u)$ 는 그러한 $C$ 의 최소값이다.