[논문 리뷰] Nonconforming Finite Element Spaces for $2m$-th Order Partial Differential Equations on $\mathbb{R}^n$ Simplicial Grids When $m=n+1$

Shuonan Wu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 30.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 18인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $2m$-차 수학적 타원형 문제에 대해 $m = n+1$ 인 경우 $ℝ^n$ 내의 단순체 메esh에서 비일관 유한요소의 가족을 제안한다. 이는 이전에 $m \leq n$ 라는 제약 조건이 있었던 Morley-Wang-Xu 요소를 초월하는 것이다. 방법은 체적 버블 함수를 포함한 다항형 모양 함수를 강화하고, 정밀하게 설계된 자유도를 사용하며, 유일성, 근사 가능성 및 준최적의 $H^3$ 오차 추정치를 증명한다. 또한 2차원에서 제6차 특성화된 섭동 문제에 대해 강건한 $H^3$ 요소를 도입하여 수치적으로 최적 수렴률이 확인되었다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a family of nonconforming finite elements for $2m$-th order partial differential equations in $\mathbb{R}^n$ on simplicial grids when $m=n+1$. This family of nonconforming elements naturally extends the elements proposed by Wang and Xu [Math. Comp. 82(2013), pp. 25-43] , where $m \leq n$ is required. We prove the unisolvent property by induction on the dimensions using the similarity properties of both shape function spaces and degrees of freedom. The proposed elements have approximability, pass the generalized patch test and hence converge. We also establish quasi-optimal error estimates in the broken $H^3$ norm for the 2D nonconforming element. In addition, we propose an $H^3$ nonconforming finite element that is robust for the sixth order singularly perturbed problems in 2D. These theoretical results are further validated by the numerical tests for the 2D tri-harmonic problem.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $m \leq n$ 제약 조건으로 인해 제한되던 $2m$-차 PDE에 대한 비일관 유한요소 프레임워크를 초월하여 확장하기.
• 모양 함수 공간과 대칭 자유도를 사용하여 $m = n+1$ 인 경우 $H^m$ 비일관 유한요소의 일반적인 가족을 구성하기.
• 형상 함수와 자유도의 유사성 및 귀납법을 이용하여 유일성, 근사 가능성 및 수렴성을 증명하기.
• 2차원 삼중조화 문제에 대해 파손된 $H^3$ 노름에서 준최적 오차 추정치를 확립하기.
• 2차원에서 제6차 특성화된 섭동 문제에 대해 $H^1$-일관성과 향상된 안정성을 갖는 강건한 $H^3$ 비일관 요소를 개발하기.

제안 방법

• 각 단순체 $T$ 에서 $\mathcal{P}_{n+1}$ 다항식에 $\mathcal{P}_{n+2}$ 체적 버블 함수를 추가하여 형상 함수 공간 $P_T^{(n+1,n)}$ 을 구성한다.
• 정점, 중점, 변에서의 점 평가, 법선 도함수, 접선 도함수를 기반으로 한 국소 자유도를 정의하여 대칭성과 유일성을 확보한다.
• 차원에 대한 귀납법을 사용하여 형상 함수 공간과 자유도 간의 유사성을 바탕으로 유일성을 증명하며, Wang과 Xu(2013)의 접근을 일반화한다.
• 근사 가능성과 일반화된 패치 테스트를 확립하여 $H^m$-일관 문제에 대한 수렴성을 보장한다.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 Strang의 보조정리와 보간 이론을 이용하여 파손된 $H^3$ 노름에서 준최적 오차 추정치를 유도한다.
• 제6차 특성화된 섭동 문제에 대해 강건성을 확보하기 위해 추가 버블 함수를 포함한 수정된 $H^3$ 비일관 요소를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순체 메쉬에서 $2m$-차 PDE에 대해 $m \leq n$ 제약 조건을 초월하여 Morley-Wang-Xu 비일관 유한요소 프레임워크를 확장할 수 있는가?
• RQ2 형상 함수 공간과 자유도는 $m = n+1$ 인 경우 유일성과 수렴성을 보장하는가?
• RQ3 최소한의 정규성 조건 하에서 2차원 비일관 $H^3$ 요소에 대해 어떤 오차 추정치를 확립할 수 있는가?
• RQ4 2차원에서 제6차 특성화된 섭동 문제에 대해 강건한 비일관 $H^3$ 요소를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이론적 오차 추정치는 모델 문제에 대한 수치 성능와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 비일관 유한요소 가족은 $m = n+1$ 인 경우 $2m$-차 PDE에 대해 유일성과 수렴성을 갖는다. 이는 귀납법과 형상 함수의 대칭성에 기반하여 증명되었다.
• 파손된 $H^3$ 노름에서 준최적 오차 추정치가 확립되었으며, $u \in H^5(\Omega) \cap \tilde{H}_0^3(\Omega)$ 인 경우 수렴 속도는 $O(h)$이며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 2차원 삼중조화 문제에 대한 수치 실험 결과, $H^3$ 노름에서 $O(h)$ 수렴, $L^2$, $H^1$, $H^2$ 노름에서 $O(h^2)$ 수렴이 관찰되어 이론적 수렴률을 확인하였다.
• 비볼록인 L자형 도메인에서 해가 $H^{3.5}(\Omega)$ 에 속하는 특이한 해를 가질 경우, 파손된 $H^3$ 노름에서 $O(h^{1/2})$ 수렴이 달성되었으며, 부분 정규성과 일치한다.
• 수정된 $H^3$ 비일관 요소는 2차원에서 제6차 특성화된 섭동 문제에 대해 강건하며, 경계층 효과가 있더라도 최적 수렴률을 유지한다.
• 2차원 $H^3$ 요소는 국소 자유도가 12개 뿐이며, 이는 Hu와 Zhang(2013)의 요소보다 3개 적어 효율성이 향상됨을 시사한다.