[논문 리뷰] Nonconforming Finite Volume Methods for Second Order Elliptic Boundary Value Problems

Yuanyuan Zhang, Zhongying Chen|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2계 타원 경계값 문제에 대해 비일관 유한체적법(FVMs)의 통합 수렴 이론을 개발한다. 비일관 유한요소 공간을 시험 함수로 사용하며, 정규 메쉬 조건 하에서 두 개의 구체적 방법—Crouzeix-Raviart 및 하이브리드 Wilson FVM—에 대해 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 최적의 오차 추정치를 확립한다. 각각 수렴 차수는 $O(h)$와 $O(h^2)$이다.

ABSTRACT

This paper is devoted to analyze of nonconforming finite volume methods (FVMs), whose trial spaces are chosen as the nonconforming finite element (FE) spaces, for solving the second order elliptic boundary value problems. We formulate the nonconforming FVMs as special types of Petrov-Galerkin methods and develop a general convergence theorem, which serves as a guide for the analysis of the nonconforming FVMs. As special examples, we shall present the triangulation based Crouzeix-Raviart (C-R) FVM as well as the rectangle mesh based hybrid Wilson FVM. Their optimal error estimates in the mesh dependent $H^1$-norm will be obtained under the condition that the primary mesh is regular. For the hybrid Wilson FVM, we prove that it enjoys the same optimal error order in the $L^2$-norm as that of the Wilson FEM. Numerical experiments are also presented to confirm the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 2계 타원 문제에 적용된 비일관 유한체적법에 대한 일반적인 수렴 프레임워크를 수립하기 위해.
• 비일관 FVM의 분석에서 발생하는 과제들—균일 유계성, 타원성, 비일관 일致 오차—를 다루기 위해.
• 비일관 FVM의 두 구체적 방법—Crouzeix-Raviart 및 하이브리드 Wilson FVM—을 통합 Petrov-Galerkin 공식화에 기반해 분석하기 위해.
• 이들 방법에 대해 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 최적의 오차 추정치를 유도하기 위해.
• 정확한 해가 있는 포isson 문제에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 비일관 유한요소 시험 공간과 이중 메쉬 위의 조각별 상수 시험 함수를 사용하는 비일관 FVM을 Petrov-Galerkin 방법으로 공식화한다.
• 이산 노름 부등식, 이산 양형인 균일 유계성 및 균일 타원성에 기반한 일반 수렴 정리를 유도한다.
• 프레임워크를 Crouzeix-Raviart FVM에 적용하여, 비일관 오차 항이 정확히 0이 됨을 증명하고, 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름에서 최적의 $O(h)$ 수렴을 확보한다.
• 하이브리드 Wilson FVM을 분석하기 위해, 조각별 상수 함수와 시험 공간에서 선형 독립인 함수를 조합한 시험 공간을 사용하여 $L^2$-노름 오차 분석을 가능하게 한다.
• 잔여 항을 bound하기 위해 그린의 공식과 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 $L^2$-오차 한계를 확립한다.
• 메쉬 정규성(최소 각 조건)을 활용하여 근사 오차를 제어하고 최적 수렴 속도를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2계 타원 문제에 대해 비일관 유한체적법을 분석하기 위한 통합 이론적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 비일관 FVM의 이산 양형에서 균일 유계성과 균일 타원성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 비일관 일치 오차는 분석에서 어떻게 제어하거나 제거할 수 있는가?
• RQ4 정규 메쉬 조건 하에서 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름에서 Crouzeix-Raviart FVM의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 하이브리드 Wilson FVM은 해당 월리스 유한요소법과 동일한 $L^2$-수렴 차수를 달성하는가?

주요 결과

• 비일관 Crouzeix-Raviart FVM은 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름에서 최적의 $O(h)$ 수렴을 달성하며, 비일관 오차 항은 정확히 0이다.
• 하이브리드 Wilson FVM은 메쉬에 의존하는 $H^1$-노름에서 $O(h)$ 수렴과 $L^2$-노름에서 $O(h^2)$ 수렴을 보이며, 이는 해당 월리스 유한요소법의 수렴 속도와 일치한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 삼각형 메쉬에서 최소 각이 $45^\text{circ}$, $\approx18.43^\circ$, 및 $\approx2.86^\circ$인 경우에도 Crouzeix-Raviart FVM의 이론적 $O(h)$ 수렴 차수를 확인하였다.
• 하이브리드 Wilson FVM의 $L^2$-오차 추정치는 저차수 FVM 및 월리스 FEM 분석 기법을 변형하여 도출되었으며, 정규 메쉬 조건 하에서 $O(h^2)$ 수렴을 달성하였다.
• 이론적 분석은 이산 노름 부등식과 그린의 공식 및 코시-슈바르츠 부등식을 활용한 반응항과 기울기 항의 bound에 기반한다.
• 정확한 해가 있는 포isson 문제 $[0,1] \times [0,1]$ 에서 이론적 결과를 수치적으로 검증하였으며, 메쉬를 세밀하게 할수록 일관된 수렴 차수를 보였다.