[논문 리뷰] Noncrossing partitions under rotation and reflection

David Callan, Len Smiley|ArXiv.org|2005. 10. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 [n]의 비교교차 분할에 대해 회전 및 회전 대칭을 고려하여 연구하며, 비교교차 분할의 회전 동치류와 이중색 평면 트리 사이의 전단사 관계를 확립한다. Kreweras가 영감을 줬던 치환을 통해, 자기보완 비교교차 분할의 수가 회전 대칭성(다이드럴 불변성)을 가지는 비교교차 분할 패턴의 수와 같다는 것을 증명한다. 주요 결과는 두 대칭 동치류 간의 조합적 등수성에 관한 것으로, 카탈란 수와 중심 이항 계수에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

We consider noncrossing partitions of [n] under the action of (i) the reflection group (of order 2), (ii) the rotation group (cyclic of order n) and (iii) the rotation/reflection group (dihedral of order 2n). First, we exhibit a bijection from rotation classes to bicolored plane trees on n edges, and consider its implications. Then we count noncrossing partitions of [n] invariant under reflection and show that, somewhat surprisingly, they are equinumerous with rotation classes invariant under reflection. The proof uses a pretty involution originating in work of Germain Kreweras. We conjecture that the "equinumerous" result also holds for arbitrary partitions of [n].

연구 동기 및 목표

• 회전 및 반사 군의 작용 하에서 [n]의 비교교차 분할을 분석한다.
• n개의 간선을 가진 이중색 평면 트리와 비교교차 분할의 회전 동치류 사이의 전단사 관계를 확립한다.
• 자기보완 비교교차 분할의 수를 세고, 다이드럴 불변성(회전 대칭성)을 가지는 비교교차 분할 패턴의 수와 비교한다.
• 자기보완 비교교차 분할과 회전 대칭성 동치류 사이의 등수성이 일반적인 분할에 대해서도 성립하는지 조사한다.

제안 방법

• 블록의 다각형 표현을 사용하여, 비교교차 분할의 회전 동치류에서 n개 간선을 가진 이중색 평면 트리로의 전단사 관계를 구성한다.
• Dyck 경로 인코딩을 사용하여 Dyck 경로를 비교교차 분할로 매핑하며, 정점의 수가 블록의 수에 해당한다.
• Cauchy-Frobenius 보조정리( Burnside의 보조정리)를 적용하여, 레이블이 부여된 분할 위의 군 작용을 통해 회전 동치류와 다이드럴 동치류의 수를 세는 데 사용한다.
• Kreweras가 영감을 줬 조합적 치환을 활용하여, 자기보완 비교교차 분할과 회전 대칭성 비교교차 분할 패턴 간의 등수성을 증명한다.
• 생성 함수와 기존의 수세기 결과(예: A054357, A001405)를 활용하여 결과를 검증하고 일반화한다.
• 기존의 평면 트리 및 캉티에 대한 결과를 활용하여 자유 이중색 평면 트리의 수를 확인하고, 이를 비슷교차 분할 패턴과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 [n]의 비교교차 분할 중 반사에 대해 불변인 것은 몇 개인가? 그리고 이들은 회전 동치류와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 자기보완 비교교차 분할과 회전 대칭성 비교교차 분할 패턴 간의 등수성에 구조적인 이유가 있는가?
• RQ3 이 등수성 결과는 비교교차 분할 외의 일반적인 분할로도 확장될 수 있는가?
• RQ4 비교교차 분할의 회전 동치류와 이중색 평면 트리 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 회전 동치류와 다이드럴 동치류의 수는 카탈란 수와 중심 이항 계수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 비교교차 분할의 자기보완 분할의 수는 정확히 중심 이항 계수 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ 와 같다.
• n개의 간선을 가진 이중색 평면 트리와 비교교차 분할의 회전 동치류 사이에 전단사 관계가 존재한다.
• 반사에 대해 불변인(회전 대칭성) 비교교차 분할 패턴의 수는 자기보완 비교교차 분할의 수와 같다.
• Cauchy-Frobenius 보조정리를 통해 다이드럴 동치류의 수를 다음과 같은 공식으로 얻을 수 있다: $\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} + \sum_{\substack{1\leq i<n \\ i|n}} \phi(\frac{n}{i}) \binom{2i}{i} \right)$.
• 회전 대칭성 이외의 비교교차 분할 패턴의 수는 $\frac{1}{2}(A054357 - A001405)$ 로 주어지며, Burnside의 보조정리를 통해 이 수가 확인된다.
• 저자들은 자기보완 분할과 회전 대칭성 동치류 사이의 등수성이 비교교차 분할 외의 일반적인 분할에 대해서도 성립할 것이라 추측한다.