[논문 리뷰] Nondeterministic quantum communication complexity: the cyclic equality game and iterated matrix multiplication

Harry Buhrman, Matthias Christandl외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다자간 비결정론적 양자 브로드캐스트 모델에서 부울 함수의 양자 통신 복잡도가 관련 텐서의 서포트 랭크의 로그와 일치함을 입증한다. 이 모델에 대한 로그-랭크 추측을 해결하고, 반복 행렬 곱셈과 연결된 순환 등등식 문제를 도입하며, 스트라센의 레이저 방법과 영 연약화를 사용하여 홀수 명의 플레이어에 대해 비자명한 프로토콜이 존재함을 보이며, 행렬 곱셈 지수에 대한 새로운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

We study nondeterministic multiparty quantum communication with a quantum generalization of broadcasts. We show that, with number-in-hand classical inputs, the communication complexity of a Boolean function in this communication model equals the logarithm of the support rank of the corresponding tensor, whereas the approximation complexity in this model equals the logarithm of the border support rank. This characterisation allows us to prove a log-rank conjecture posed by Villagra et al. for nondeterministic multiparty quantum communication with message-passing. The support rank characterization of the communication model connects quantum communication complexity intimately to the theory of asymptotic entanglement transformation and algebraic complexity theory. In this context, we introduce the graphwise equality problem. For a cycle graph, the complexity of this communication problem is closely related to the complexity of the computational problem of multiplying matrices, or more precisely, it equals the logarithm of the asymptotic support rank of the iterated matrix multiplication tensor. We employ Strassen's laser method to show that asymptotically there exist nontrivial protocols for every odd-player cyclic equality problem. We exhibit an efficient protocol for the 5-player problem for small inputs, and we show how Young flattenings yield nontrivial complexity lower bounds.

연구 동기 및 목표

• 다자간 비결정론적 양자 브로드캐스트 모델에서 부울 함수의 양자 통신 복잡도를 특성화하기.
• 빌라그라 등이 제기한 메시지 전달 변형 모델에 대한 로그-랭크 추측을 해결하기.
• 순환 등등식 문제의 복잡도를 텐서 서포트 랭크를 통해 반복 행렬 곱셈과 연결하기.
• 대수 기법을 사용하여 k-플레이어 순환 등등식 문제에 대한 새로운 프로토콜과 하한을 개발하기.
• 양자 통신 복잡도 도구를 사용하여 행렬 곱셈 지수 ωk에 대한 정량적 경계를 설정하기.

제안 방법

• 플레이어들이 GHZ 유사 얽힌 상태를 공유하여 통신을 시뮬레이션하는 양자 브로드캐스트 모델을 정의하며, 복잡도는 브로드캐스트 횟수로 측정한다.
• 함수 f의 양자 복잡도가 T(함수 f에 해당하는 텐서)의 서포트 랭크의 로그₂와 같음을 증명한다.
• 서포트 랭크 특성화를 사용하여 양자 통신 복잡도를 점근적 얽힘 변환과 대수적 복잡도 이론과 연결한다.
• k-플레이어 그래프 기반 등등식 문제를 도입하며, 순환 그래프 Ck에 집중하고, n×n×n×n×n 인덱스에 대한 5-텐서로 순환 등등식 텐서 IMMₙᵏ를 정의한다.
• 스트라센의 레이저 방법을 순환 등등식 텐서에 적용하여 홀수 k에 대한 통신 복잡도에 대한 점근적 상한을 유도한다.
• 영 연약화를 사용하여 홀수 k ≥ 3에 대한 양자 복잡도에 대한 비자명한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다자간 양자 브로드캐스트 모델에서 양자 통신 복잡도와 텐서 서포트 랭크 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 플레이어 수 k가 홀수일 때, 순환 등등식 문제에 대해 비자명한 양자 프로토콜이 존재할 수 있는가?
• RQ3 순환 등등식 문제의 복잡도는 반복 행렬 곱셈의 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 5-플레이어 순환 등등식 문제에 대해 가장 날카로운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ5 스트라센의 레이저 방법과 영 연약화와 같은 대수 기법을 사용하여 행렬 곱셈 지수 ωk에 대한 개선된 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 브로드캐스트 모델에서 부울 함수의 양자 통신 복잡도는 관련 텐서의 서포트 랭크의 로그와 정확히 일치한다.
• k-플레이어 메시지 전달 모델에서는 브로드캐스트 모델 대비 복잡도가 최대 k−1 배 높을 수 있으며, 이 경계는 날카로운 것이다.
• 홀수 k ≥ 3에 대해, 반복 행렬 곱셈 텐서에 스트라센의 레이저 방법을 적용한 결과, 순환 등등식 문제에 대해 비자명한 양자 프로토콜이 존재함을 보였다.
• 소규모 입력에 대해 5-플레이어 순환 등등식 문제에 대한 명시적 양자 프로토콜을 구성하여 비자명한 효율성을 입증하였다.
• 영 연약화를 통해 홀수 k ≥ 3에 대해 양자 복잡도에 대한 비자명한 하한을 도출하였으며, 이는 고전적 경계를 초월하는 비자명한 프로토콜의 존재를 확인한다.
• 행렬 곱셈 지수 ω₅는 4.84438 이하로 경계된다. 이는 부등식 ω₅ ≤ log_q((q+1)^5 / 2)로부터 도출되며, 큰 q에 대해 고전적 경계 5보다 개선된 것이다.