[논문 리뷰] Nondeterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexities

Ronald de Wolf|ArXiv.org|2000. 01. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 함수가 1로 평가될 경우 양자 알고리즘이 양의 확률로 수락하는 조건을 만족할 때만 비결정적 양자 질의 및 통신 복잡도의 새로운 정의를 제안한다. 비결정적 양자 질의 복잡도가 함수의 비결정적 다항식의 차수와 정확히 일치함을 증명하고, 질의 및 통신 복잡도 설정 모두에서 지수적 양자-고전적 복잡도 격차를 보여준다.

ABSTRACT

We study nondeterministic quantum algorithms for Boolean functions f. Such algorithms have positive acceptance probability on input x iff f(x)=1. In the setting of query complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a Boolean function is equal to its ``nondeterministic polynomial'' degree. We also prove a quantum-vs-classical gap of 1 vs n for nondeterministic query complexity for a total function. In the setting of communication complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a two-party function is equal to the logarithm of the rank of a nondeterministic version of the communication matrix. This implies that the quantum communication complexities of the equality and disjointness functions are n+1 if we do not allow any error probability. We also exhibit a total function in which the nondeterministic quantum communication complexity is exponentially smaller than its classical counterpart.

연구 동기 및 목표

• 입력 1에 대해 양의 수락 확률을 갖는 새로운 비결정적 양자 알고리즘 정의를 체계화하고 분석한다.
• 비결정적 양자 질의 및 통신 복잡도의 정확한 대수적 특성화를 수립한다.
• 질의 및 통신 모델 모두에서 뚜렷한 양자-고전 복잡도 격차를 보여준다.
• 제안된 정의를 다른 양자 비결정성 정의들과 비교하여 표현력 면에서의 우월성을 보여준다.

제안 방법

• 비결정적 양자 알고리즘을 f(x) = 1이면 양의 확률로 수락하고 f(x) = 0이면 확률 0으로 수락하는 알고리즘으로 정의한다.
• 불리안 함수의 비결정적 양자 질의 복잡도가 그 함수의 비결정적 다항식 차수와 정확히 일치함을 증명한다.
• 증명서 검증 모델을 시뮬레이션하기 위해 양자 검증 프로토콜을 사용하여, 새로운 정의가 엄격히 더 강력함을 보여준다.
• 양자 통신 복잡도와 비결정적 통신 행렬의 랭크의 로그 사이의 연결 고리를 수립한다.
• 등가성 및 상호배타성 함수를 분석하여, 영오차 조건 하에서 그들의 양자 통신 복잡도가 n+1임을 보여준다.
• 비결정적 양자 통신 복잡도가 고전적 복잡도보다 지수적으로 작은 명시적 총함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결정적 양자 질의 복잡도의 정확한 대수적 특성화는 무엇인가?
• RQ2 제안된 양자 비결정성 정의는 증명서 검증 모델에 비해 어떤 정도의 표현력으로 더 강력한가?
• RQ3 새로운 정의 하에서 질의 및 통신 복잡도 설정 모두에서 지수적 양자-고전 복잡도 격차를 달성할 수 있는가?
• RQ4 영오차 제약 조건 하에서 등가성 및 상호배타성과 같은 기본 함수의 양자 통신 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 비결정적 양자 통신 복잡도가 고전적 복잡도보다 지수적으로 작은 총함수가 존재하는가?

주요 결과

• 불리안 함수 f의 비결정적 양자 질의 복잡도는 정확히 그 함수의 비결정적 다항식의 차수와 일치한다.
• 비결정적 양자 질의 복잡도가 1인 총함수가 존재하며, 이는 증명서 검증 모델이 Ω(√n)개의 질의를 요구하는 반면, 새로운 정의는 이를 엄격히 초월함을 증명한다.
• 영오차 조건 하에서 등가성 함수의 비결정적 양자 통신 복잡도는 n+1이다.
• 영오차 제약 조건 하에서 상호배타성 함수의 비결정적 양자 통신 복잡도 역시 n+1이다.
• 비결정적 양자 통신 복잡도가 고전적 복잡도보다 지수적으로 작은 명시적 총함수를 구성하였다.
• 함수의 양자 통신 복잡도는 그 비결정적 통신 행렬의 랭크의 로그와 정확히 일치한다.