[논문 리뷰] Nonequilibrium dynamics of noninteracting fermions in a trap

David S. Dean, Pierre Le Doussal외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 트랩 내에서 상호작용이 없는 N개의 페르미온의 실시간 양자 역학적 동역학을 조사하며, 양자 쿠잉 이후의 위그너 함수와 상관 함수의 시간 진화에 초점을 맞춘다. 조화 및 역제곱 퍼텐셜에 대해 정확한 해를 도출하여, 시간에 따라 변화하는 폭을 갖는 시간 진화 동안 가장자리 보편성(Airy 또는 Bessel 커널로 기술됨)이 유지됨을 보이고, 대각행렬을 통한 다수체 상태의 일반화된 지브스 군집(GGE)과의 일치를 확인한다. 이는 대규모 N, 고정된 ℏ 양자 영역에서 성립한다.

ABSTRACT

We consider the real time dynamics of $N$ noninteracting fermions in $d=1$. They evolve in a trapping potential $V(x)$, starting from the equilibrium state in a potential $V_0(x)$. We study the time evolution of the Wigner function $W(x,p,t)$ in the phase space $(x,p)$, and the associated kernel which encodes all correlation functions. At $t=0$ the Wigner function for large $N$ is uniform in phase space inside the Fermi volume, and vanishes at the Fermi surf over a scale $e_N$ being described by a universal scaling function related to the Airy function. We obtain exact solutions for the Wigner function, the density, and the correlations in the case of harmonic and inverse square potentials, for several $V_0(x)$. In the large $N$ limit, near the edges where the density vanishes, we obtain limiting kernels (of the Airy or Bessel types) that retain the form found in equilibrium, up to a time dependent rescaling. For non-harmonic traps the evolution of the Fermi volume is more complex. Nevertheless we show that, for intermediate times, the Fermi surf is still described by the same equilibrium scaling function, with a non-trivial time and space dependent width which we compute analytically. We discuss the multi-time correlations and obtain their explicit scaling forms valid near the edge for the harmonic oscillator. Finally, we address the large time limit where relaxation to the Generalized Gibbs Ensemble (GGE) was found to occur in the "classical" regime $\hbar \sim 1/N$. Using the diagonal ensemble we compute the Wigner function in the quantum case (large $N$, fixed $\hbar$) and show that it agrees with the GGE. We also obtain the higher order (non-local) correlations in the diagonal ensemble.

연구 동기 및 목표

• 초기 평형 상태에서의 트랩 내 상호작용이 없는 페르미온의 실시간 양자 역학적 동역학을 이해하기 위해.
• 평형 상태에서 관측된 보편적인 가장자리 행동(Airy/Bessel 커널)이 비평형 시간 진화 동안 유지되는지 조사하기 위해.
• 대규모 N, 고정된 ℏ 양자 영역에서 대각행렬과 일반화된 지브스 군집(GGE) 간의 관계를 설정하기 위해.
• 조화 트랩에서 가장자리 근처의 다중시간 상관 함수를 계산하고, 그 보편적 스케일링 형태를 유도하기 위해.
• 장시간에 걸친 비평형 상황에서의 안정화 동역학을 분석하고, 대각행렬을 사용하여 양자 영역에서 GGE로의 열역학적 평형화가 어떻게 확인되는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 다수체 시스템의 시간 진화를 기술하기 위해 위그너 함수 W(x, p, t)를 위상공간 가짜확률분포로 사용하기 위해.
• 초기 상태로 H₀의 기저 상태를 사용하여 조화 및 역제곱 퍼텐셜에 대해 시간에 의존하는 위그너 함수와 관련된 상관 커널의 정확한 해를 구하기 위해.
• 장시간 상관 함수를 계산하고 GGE 예측과 비교하기 위해 대각행렬(시간 평균 밀도 행렬)을 적용하기 위해.
• 대규모 N 근사에서 페르미 표면 근처에서 유효한 Airy 및 Bessel 함수를 사용하여 가장자리 상관의 보편적 스케일링 형태를 유도하기 위해.
• 시간에 따라 변화하는 페르미 표면의 폭을 해석적으로 계산하여, 비조화 트랩에서도 비정상적인 진동을 보임을 보여주기 위해.
• 상관 함수를 커널(sine, Airy, Bessel)로 표현하기 위해 랜덤 매트릭스 이론(RMT) 연결성과 결정점 프로세스를 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호작용이 없는 페르미온에서 평형 상태에서 관측된 보편적 가장자리 행동(Airy 또는 Bessel 커널)이 비평형 시간 진화 동안 유지되는가?
• RQ2 양자 쿠잉 이후 위상공간에서 페르미 표면의 형태와 폭은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 대각행렬이 장시간 상관 함수를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가? GGE 예측과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 조화 트랩에서 가장자리 근처의 다중시간 상관 함수는 보편적 스케일링 형태로 표현될 수 있는가? 그 시간 의존성은 무엇인가?
• RQ5 대규모 시간 근처에서 양자 영역(fixed ℏ, large N)에서 시스템이 GGE로 수렴하는가? 그리고 이것이 어떻게 확인되는가?

주요 결과

• 조화 및 역제곱 퍼텐셜에 대해, 위그너 함수의 시간 진화는 시간에 따라 변화하는 폭을 갖는 보편적 가장자리 스케일링 형태(Airy 또는 Bessel 커널)를 유지하며, 이 폭은 해석적으로 계산된다.
• 페르미 표면 근처에서 대규모 N 근사에서 위그너 함수는 시간과 공간에 따라 변화하는 비정상적인 폭을 가지지만, 평형 상태와 동일한 함수 형태를 유지한다.
• 대각행렬은 고차원(비국소적) 상관 함수에 대한 정확한 표현을 제공하며, 밀도 행렬의 비대각항을 忽略할 경우에만 GGE 예측과 일치한다.
• 조화 트랩에서 가장자리 근처의 다중시간 상관 함수에 대해, 본 논문은 대규모 N 근사에서 유효한 명시적 보편적 스케일링 형태를 도출한다.
• 장시간 근처에서 대각행렬은 양자 영역(Large N, fixed ℏ)에서 GGE로의 수렴을 확인하며, 위그너 함수와 상관 함수 모두 정확한 일치를 보인다.
• 본 연구는 GGE 예측이 m점 상관 함수(m ≥ 2)에서 대각행렬과 다를 수 있음을 드러내며, 비평형 양자 시스템에서 비국소적 상관관계의 중요성을 강조한다.