[논문 리뷰] Nonexistence for complete Kähler Einstein metrics on some noncompact manifolds

Peng Gao, Shing‐Tung Yau외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 30.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 콪 pact Kähler 다양체에서 codimension ≥2인 부분다양체의 여집합이나 canonical 또는 terminal 특이점을 수축하는 예외적 인자(divisor)의 여집합 위에는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않음을 증명한다. 이 결과는 klt 쌍(pair)의 경우로 확장되며, 곡률과 특이점 분석에 기반하여, 비콤팩트 Kähler 다양체 위에서의 canonical 계량에 관한 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a compact Kähler manifold and $N$ be a subvariety with codimension greater than or equal to 2. We show that there are no complete Kähler--Einstein metrics on $M-N$. As an application, let $E$ be an exceptional divisor of $M$. Then $M-E$ cannot admit any complete Kähler--Einstein metric if blow-down of $E$ is a complex variety with only canonical or terminal singularities. A similar result is shown for pairs.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 Kähler 다양체에서 codimension ≥2인 부분다양체를 제거하여 얻는 비콤팩트 Kähler 다양체 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재할 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 타깃 다양체가 canonical 또는 terminal 특이점을 갖는 birational 사상에서 예외적 인자의 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하는지 조사하기 위해.
• Kawamata log terminal (klt) 특이점을 갖는 쌍(X,D)의 설정으로 비존재 결과를 확장하기 위해.
• 곡률과 특이점 유형에 기반한 기하학적 장벽을 제공하기 위해 분석적 및代수기하학적 기법을 사용하여 이러한 계량의 존재 여부에 대한 장벽을 규명하기 위해.
• 결과를 국소 대칭 공간의 콪 pactification에 적용하여, 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하기 위해 특이 경계 성분(cusps)이 필수적임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비콤팩트 다양체 위에서 정의된 완비 Kähler–Einstein 계량이 양의 Ricci 곡률을 가질 수 없음을 보이기 위해 Bonnet–Myers 컴팩트니스 정리(Compactness theorem)를 사용한다.
• Poincaré–Mok–Yau (PMY) 유형의 행동을 갖는 계량의 곡률 추정과 점근적 분석을 적용하여, 음이거나 0인 Ricci 곡률을 갖는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않음을 보인다.
• 특이점의 해소와 로그 해소 기법을 활용하여 문제를 codimension 2의 특이점 집합으로 축소한다.
• 불변량(Discrepancy)의 개념과 klt (Kawamata log terminal) 특이점의 정의를 활용하여 국소 특이점 유형을 특성화한다.
• Hartog의 확장 정리와 Zariski의 주정리를 적용하여 codimension ≥2인 특이점이 캐논리컬 번들(canonically bundle)의 구조에 영향을 주지 않음을 보장한다.
• klt 쌍은 codimension 2에서 몫 특이점(quotient singularities)을 갖는다는 사실(보조정리 4.3)을 이용하여 문제를 국소 모델로 축소하고, 그 모델에서 비존재가 입증됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 Kähler 다양체에서 codimension ≥2인 부분다양체를 제거한 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재할 수 있는가?
• RQ2 codimension ≥2인 부분다양체에 대해 콱 pact Kähler 다양체를 블로우업한 후, 예외적 인자의 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하는가?
• RQ3 타깃 다양체의 특이점이 어떤 조건을 만족할 경우, birational 사상에서 예외적 인자의 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재할 수 있는가?
• RQ4 쌍(X,D)가 klt 조건을 만족할 경우, 예외적 인자의 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하는 것을 방해하는가?
• RQ5 Satake 콱 pactification의 분해상태에서 유도된 열린 다양체의 경우 비존재 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• M이 콱 pact Kähler 다양체이고 N이 codimension ≥2인 부분다양체일 경우, $M - N$ 위에는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않는다.
• f: M \to X가 X가 canonical 또는 terminal 특이점을 갖는 birational 사상이고 X의 특이점 집합의 codimension이 2일 경우, $M - E$ 위에는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않는다.
• A-D-E 특이점으로 수축하는 예외적 인자를 갖는 복소 표면 M에 대해, $M - E$ 위에는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않는다.
• 비존재 결과는 klt 쌍으로까지 확장된다: $(X, D)$가 klt일 경우, $M - E$ 위에는 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하지 않는다. 여기서 E는 해소의 예외적 인자이다.
• 이 결과는 Satake 콱 pactification의 국소 대칭 공간이 반드시 특이 경계 성분(cusps)을 포함해야 한다는 것을 시사한다. 그렇지 않으면 경계의 여집합 위에 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하게 되어 비존재 정리와 모순된다.
• codimension ≥2인 부분다양체 N에 대해, $M - N$ 위에서 완비 Kähler–Einstein 계량이 존재하려면 곡률 조건 $-\rho \text{Id} \to \text{Ric} \to 0$ 이며 $\rho \neq 0$ 이어야 하는데, 이 조건은 상호 배타적이다.