[논문 리뷰] Nonexistence of a non-trivial global weak solution for the nonlinear Schr\"{0}dinger equation with a nongauge invariant power nonlinearity

Masahiro Ikeda, Yuta Wakasugi|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 01.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 게이지 불변이 아닌 거듭제곱 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 초기 자료가 임의로 작더라도 비자명한 전역 약한 해가 존재하지 않음을 증명한다. 약한 해의 프레임워크 안에서 에너지 추정과 폭발 증거를 사용하여, 적절한 초기 자료를 갖는 초기값 문제의 해는 유한 시간 내에 폭발해야 하며, 이는 작은 자료에 대한 전역 존재성을 배제한다.

ABSTRACT

We study the initial value problem for the nonlinear Schrodinger equation with a critical or subcritical nongauge invariant nonlinearity: (NLS) { i∂tu+ 1 2 ∆u = λ |u| , u (0, x) = ef (x) , where n ∈ N, 1 0, (t, x) ∈ [0, T ) × R, u = u (t, x) ∈ is a complex-valued unknown function of (t, x) , λ ∈ C {0} , f = f (x) ∈ is a given complex-valued function and e > 0 is a positive parameter. In this paper, we will prove nonexistence of a non-trivial global weak solution for the equation (NLS) with some initial data but without any size and coefficient restrictions, which implies that “small data global existence” does not hold for (NLS). Furthermore, we will also prove the L-norm of a time local L-solution with a suitable initial data blows up at a finite time.

연구 동기 및 목표

• 게이지 불변이 아닌 거듭제수 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 전역 약한 해의 존재성을 조사하는 것.
• 작은 초기 자료가 전역 해를 이끌 수 있는지 여부를 규명하여, 전통적인 작은 자료 전역 존재 이론의 개념에 도전하는 것.
• 적절한 초기 자료 조건 하에서 국소 해의 L^p-노름이 폭발함을 증명하는 것.
• 초기 자료의 크기나 계수에 제한 없이, 이 방정식에 비자명한 전역 약한 해가 존재하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 게이지 불변이 아닌 거듭제곱 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 초기값 문제 분석.
• 장기적 행동을 연구하기 위해 에너지 추정과 약한 해 프레임워크의 사용.
• 비선형성의 구조와 초기 자료의 정칙성에 기반한 폭발 증거의 적용.
• 해의 성장 제어와 유한 시간 폭발 탐지에 위해 사전 추정의 유도.
• 전역 해 가정에서 모순을 이끌어내기 위해 적절한 시험 함수와 쌍대성 원리의 약한 형태에서의 적용.
• 비선형성의 임계 또는 초임계 성격을 활용하여 날카로운 존재하지 않음 결과를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이지 불변이 아닌 거듭제곱 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식은 임의로 작은 초기 자료에 대해 비자명한 전역 약한 해를 갖는가?
• RQ2 게이지 불변성이 없음에도 불구하고, 이 비선형성의 범주에 대해 작은 자료 전역 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 해의 국소 해의 L^p-노름이 어떤 조건에서 유한 시간 내에 폭발하는가?
• RQ4 비선형성과 초기 자료의 구조만으로도 전역 존재에 대한 일반적인 장애가 존재하는가?
• RQ5 게이지 불변성이 없는 것이 해의 폭발 행동에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 게이지 불변이 아닌 거듭제곱 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 초기 자료의 크기와 관계없이 비자명한 전역 약한 해는 존재하지 않는다.
• 적절한 초기 자료 조건을 갖는 시간 국소 L^p-해의 L^p-노름은 유한 시간 내에 폭발하며, 이는 유한 시간 내에 특이점이 형성됨을 시사한다.
• 이 방정식에 대해 작은 자료 전역 존재는 성립하지 않으며, 초기 자료의 노름이 얼마나 작더라도 마찬가지다.
• 초기 자료의 크기나 계수에 대한 제한 없이도 존재하지 않음 결과가 성립한다.
• 폭발은 비선형성의 구조와 게이지 불변성의 부재에 의해 유도되며, 이는 전역 해의 존재를 방지한다.