[논문 리뷰] Nonexistence of solutions for Dirichlet problems with supercritical growth in tubular domains

Riccardo Molle, Donato Passaseo|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴actsubmanifold 주위의 원형 영역에서 초임계(noncritical) 비선형성을 가진 반선형 타원형 딜리클레 문제에 대한 비자명한 해의 존재하지 않음을 증명한다. 정밀하게 구성된 벡터장과 Pohozaev 유형의 적분 항등식을 사용하여, $ k=1 $, $ \Gamma_1 $가 수축 가능한 경우, 그리고 $ \varepsilon $가 충분히 작은 원형 영역 $ T_\varepsilon(\Gamma_k) $ 에서, 비선형성의 지수 $ p > \frac{2n}{n-2} $ 인 경우 비자명한 해는 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

We deal with Dirichlet problems of the form $$ \\Delta u+f(u)=0 \\mbox{ in }\\Omega,\\qquad u=0\\ \\mbox{ on }\\partial \\Omega $$ where $\\Omega$ is a bounded domain of $\\mathbb{R}^n$, $n\\ge 3$, and $f$ has supercritical growth from the viewpoint of Sobolev embedding. In particular, we consider the case where $\\Omega$ is a tubular domain $T_\\varepsilon(\\Gamma_k)$ with thickness $\\varepsilon>0$ and centre $\\Gamma_k$, a $k$-dimensional, smooth, compact submanifold of $\\mathbb{R}^n$. Our main result concerns the case where $k=1$ and $\\Gamma_k$ is contractible in itself. In this case we prove that the problem does not have nontrivial solutions for $\\varepsilon>0$ small enough. When $k\\ge 2$ or $\\Gamma_k$ is noncontractible in itself we obtain weaker nonexistence results. Some examples show that all these results are sharp for what concerns the assumptions on $k$ and $f$.

연구 동기 및 목표

• 반선형 타원형 방정식이 초임계 성장률을 가지는 원형 영역에서 비자명한 해의 존재 여부를 조사한다.
• 별형 영역에 대한 고전적인 Pohozaev 존재하지 않음 결과가 비별형, 수축 가능한 원형 영역으로 확장될 수 있는지 판단한다.
• 중앙 부분다양체 $ \Gamma_k $ 의 위상수학적 성질과 차원이 초임계 비선형성을 가진 딜리클레 문제의 해법 가능성에 미치는 영향을 분석한다.
• 성장 지수 $ p $ 와 영역 두께 $ \varepsilon $ 의 임계 조건을 규명하여 날카로운 존재하지 않음 결과를 수립한다.

제안 방법

• 원형 영역 $ T_\varepsilon(\Gamma_k) $ 의 기하학적 특성에 맞춘 벡터장 $ v_k $ 를 사용하여 Pohozaev 유형의 적분 항등식을 유도한다. 여기서 $ \Gamma_k $ 는 $ k $ 차원 컴팩트 부분다양체이다.
• 벡터장 $ v_k $ 를 구성하여, $ \Gamma_k $ 에서 그 발산과 방향 도함수를 제어할 수 있도록 하며, $ \varepsilon \to 0 $ 일 때의 점근적 행동을 확보한다.
• 방정식 $ \Delta u + f(u) = 0 $ 에 적분 항등식을 적용하고, $ f(u) = |u|^{p-2}u $ 를 대입하여 $ \int |Du|^2 dx $ 를 포함하는 부등식을 도출한다.
• 발산 $ \mathop{\rm div}\nolimits v_k $ 가 $ n-k $ 로 수렴하고, $ dv_k[\eta]\cdot\eta \to 1 $ 이 되는 점근적 성질을 이용하여 강한 부등식을 유도한다.
• 계수 $ 1 - \frac{n-k}{2} + \frac{n-k}{p} + \mu_k(\varepsilon) $ 의 부호를 분석하여, $ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $ 이고 $ n > k+2 $ 인 경우 음수가 되며, 이는 $ u \equiv 0 $ 을 강제한다.
• 용량과 호모로지 군의 고려를 통해 결과의 날카로움을 설명하며, 특히 $ k \geq 2 $ 이나 비수축 가능한 $ \Gamma_k $ 의 경우에 유의미하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 비선형성에 대한 Pohozaev 존재하지 않음 결과는 비별형, 수축 가능한 원형 영역으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 중앙 부분다양체 $ \Gamma_k $ 의 위상(예: 수축 가능성)과 차원 $ k $ 이 딜리클레 문제의 해법 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 성장 지수 $ p $ 와 원형 영역 두께 $ \varepsilon $ 에 대해 존재하지 않음 결과는 날카로운가?
• RQ4 왜 $ k=1 $ 이면서 $ \Gamma_1 $ 이 비수축 가능한 경우, 또는 $ k>1 $ 이면서 수축 가능한 $ \Gamma_k $ 에 대해서도 동일한 초임계 지수에서 존재하지 않음 결과가 실패하는가?
• RQ5 2차원에서 $ p $-라플라스 연산자를 $ q $-라플라스 연산자($ 1<q<2 $) 로 대체할 경우, $ n=2 $ 에서도 초임계 행동이 나타나므로, 이 경우에도 유사한 존재하지 않음 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ \varepsilon \in (0, \bar{\varepsilon}) $ 에 대해, $ k=1 $, $ \Gamma_1 $ 이 $ \mathbb{R}^n $ 에서 컴팩트하고 미분 가능하며 수축 가능한 곡선이며, $ n \geq 3 $ 이고 $ p > \frac{2n}{n-2} $ 이면, 딜리클레 문제는 유일하게 자명한 해를 가진다.
• 만약 $ k \geq 2 $ 이거나 $ \Gamma_k $ 가 비수축 가능한 경우, $ p > \frac{2n}{n-2} $ 에서는 기존 방법이 실패하지만, $ n \geq 4 $ 이고 $ p > \frac{2(n-1)}{n-3} $ 일 때는 약한 존재하지 않음 결과가 성립한다.
• 만약 $ k \geq 2 $ 이고 $ n > k+2 $ 이며 $ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $ 이면 존재하지 않음 결과가 성립하며, 존재 예시를 통해 이 임계값이 날카로움을 입증한다.
• $ k=1 $, $ \Gamma_1 $ 가 수축 가능한 경우의 존재하지 않음 결과는 날카롭다: 반면 $ k=1 $, $ \Gamma_1 $ 가 비수축 가능한 경우(예: 원)에서는 $ n \geq 4 $ 일 때 $ p \in (1, \frac{2(n-1)}{n-3}) $ 에서 해가 존재하므로 반례가 존재한다.
• $ k \geq 2 $ 일 때, $ p \geq \frac{2n}{n-2} $ 에서 해의 존재성과 다중성을 보여주며, 이는 $ k>1 $ 에서 동일한 $ p $-임계값으로 존재하지 않음 결과를 확장할 수 없음을 시사한다.
• $ \mathbb{R}^2 $ 에서 라플라스 연산자를 $ q $-라플라스 연산자($ 1<q<2 $) 로 대체하면, 모든 수축 가능한 영역에서 $ p \geq \frac{2q}{2-q} $ 일 때 존재하지 않음을 보장하며, 이는 $ n \geq 3 $ 에서의 $ p $-라플라스 경우보다 더 넓은 일반화를 가능하게 한다.