[논문 리뷰] Nonhomogeneous systems involving critical or subcritical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Souptik Chakraborty외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 06.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임계 또는 부분임계 비선형성과 비동차 항을 갖는 비국소적 분수 슈뢰딩거형 방정식계에 대해 비자명한 양의 해가 존재함을 증명한다. 분수 소볼레프 공간에서의 최소화 방법을 사용하여, 비동차 항 $f$와 $g$의 쌍대 노름이 충분히 작을 경우 음의 에너지를 갖는 양의 해가 존재함을 보인다.

ABSTRACT

This paper deals with existence of a nontrivial positive solution to systems of equations involving nontrivial nonhomogeneous terms and critical or subcritical nonlinearities. Via a minimization argument we prove existence of a positive solution whose energy is negative provided that the nonhomogeneous terms are small enough in the dual norm.

연구 동기 및 목표

• 임계 또는 부분임계 비선형성을 갖는 분수 라플라스 방정식계에 대해 비자명한 양의 해의 존재를 확립한다.
• 비선형성이 임계 또는 부분임계 성장 임계점에 있을 때 비동차 항 $f$와 $g$가 해의 존재에 미치는 영향을 분석한다.
• 비동차 항의 쌍대 노름이 충분히 작을 조건 하에서 해의 에너지가 음수임을 보인다.
• 이전의 스칼라 방정식 결과를 분수 라플라스 연산자와 거듭제곱형 비선형성을 갖는 벡터형 시스템으로 확장한다.

제안 방법

• 임계 경우 ($\alpha + \beta = 2^*_s$)에 대해 분수 소볼레프 공간 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$과 부분임계 경우에 대해 $H^s(\mathbb{R}^N) \times H^s(\mathbb{R}^N)$에서 문제를 설정한다.
• 해 공간 위에서의 함수 $J_{f,g}$를 정의하여, 그 임계점이 시스템의 약한 해에 대응하도록 한다.
• 에너지 함수의 국소 최소화를 위해 적절한 부분집합 위에서 최소화 방법을 적용한다.
• 분수 소볼레프 공간 $H^s \times H^s$의 반지름 $r$인 구 안에서 함수 $\tilde{J}_{f,g}$의 엄격한 볼록성을 보장하기 위해 두 번째 도함수의 아래bound를 구한다.
• 정밀한 분수 소볼레프 부등식과 최적 상수 $S_{\alpha+\beta}$를 사용하여 비선형 항을 제어하고, 구의 경계에서 함수의 양의성을 확보한다.
• 함수 $\tilde{J}_{f,g}$가 구 $\|(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 위에서의 하한을 유도하여, $\|f\|_{H^{-s}}$와 $\|g\|_{H^{-s}}$가 충분히 작을 경우 이 하한이 양수임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비동차 항 $f$와 $g$에 대해 어떤 조건에서 비국소적 시스템이 임계 또는 부분임계 비선형성을 갖는 양의 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 비선형성이 임계 성장률 $2^*_s$에 도달할 때 음의 에너지를 갖는 해를 찾을 수 있는가?
• RQ3 쌍대 노름 $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$과 $\|g\|_{H^{-s}}$의 작음 조건이 해의 존재성과 에너지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 분수 라플라스 연산자와 결합 구조가 양의 해 존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비동차 항 $f$와 $g$의 동일한 작음 조건 하에서 해는 유일한가, 아니면 다수의 해가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 비동차 항 $f$와 $g$가 각각 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$ 또는 $H^s(\mathbb{R}^N)$의 쌍대 노름에서 충분히 작을 경우, 시스템 $(\mathcal{S})$에 대해 비자명한 양의 해가 존재한다.
• 해의 에너지가 $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$와 $\|g\|_{H^{-s}}$의 작음 조건 하에서 음수임을 보이며, 이는 비자명한 최소화자임을 나타낸다.
• $H^s \times H^s$의 반지름 $r$인 구 안에서 함수 $\tilde{J}_{f,g}$는 엄격히 볼록하므로, 그 영역 내에서 최소화자의 유일성이 보장된다.
• 구 $\|(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 위에서 $\tilde{J}_{f,g}$의 하한을 확립하였으며, 이 하한은 $\max\{\|f\|_{H^{-s}}, \|g\|_{H^{-s}}\} \leq d$ 를 만족하는 어떤 $d > 0$일 경우 양수이다.
• 함수 $\tilde{J}_{f,g}$의 구 위에서의 하한이 양수이며, 구 내에서의 엄격한 볼록성 조건을 만족할 경우, $\alpha, \beta > 1$이고 $\alpha + \beta \leq 2^*_s$일 때 해의 존재가 보장된다.
• 증명은 정밀한 분수 소볼레프 부등식과 최적 상수 $S_{\alpha+\beta}$와 $S_{(\alpha,\beta)}$의 비교에 기반하며, 이는 두 번째 도함수 추정에서 이차형식의 양의성을 보장한다.