[논문 리뷰] Nonisometric Surface Registration via Conformal Laplace-Beltrami Basis Pursuit

Stefan C. Schonsheck, Michael M. Bronstein외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 19.

3D Shape Modeling and Analysis참고 문헌 36인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비등장성 표면 정렬을 위한 변분 방법을 제안한다. 두 개의 종수 0 표면의 라플라스-벨트라미(LB) 고유계산을 등각 변형을 통해 정렬함으로써, 소수의 지점만으로도 큰 변형, 노이즈 및 지점의 편향이 있는 상황에서도 정확한 점 대 점 대응을 달성한다. 새로운 기반 탐색 기법을 사용하여 등각 변형과 변형된 LB 고유함수를 함께 계산하는 프록시멀 교대 최소화와 보완 라그랑주 기법을 활용한 방법이다.

ABSTRACT

Surface registration is one of the most fundamental problems in geometry processing. Many approaches have been developed to tackle this problem in cases where the surfaces are nearly isometric. However, it is much more challenging to compute correspondence between surfaces which are intrinsically less similar. In this paper, we propose a variational model to align the Laplace-Beltrami (LB) eigensytems of two non-isometric genus zero shapes via conformal deformations. This method enables us compute to geometric meaningful point-to-point maps between non-isometric shapes. Our model is based on a novel basis pursuit scheme whereby we simultaneously compute a conformal deformation of a 'target shape' and its deformed LB eigensytem. We solve the model using an proximal alternating minimization algorithm hybridized with the augmented Lagrangian method which produces accurate correspondences given only a few landmark points. We also propose a reinitialization scheme to overcome some of the difficulties caused by the non-convexity of the variational problem. Intensive numerical experiments illustrate the effectiveness and robustness of the proposed method to handle non-isometric surfaces with large deformation with respect to both noise on the underlying manifolds and errors within the given landmarks.

연구 동기 및 목표

• 큰 내재적 변형을 겪는 비등장성 3D 표면 간의 정확한 점 대 점 대응을 계산하는 데 도전한다.
• 비등장성 변형으로 인해 LB 고유계산이 너무 다를 경우 기존 스펙트럼 방법이 실패하는 한계를 극복한다.
• 변형된 다양체를 명시적으로 재구축하지 않고도 등각 변형과 LB 고유기저를 동시에 계산하는 방법을 개발한다.
• 실제 형태 매칭 시나리오에서 기하학적 노이즈와 지점의 편향에 대한 강건성을 확보한다.
• 비볼록 최적화 문제 상황에서 국소 수렴과 안정적인 정렬을 가능하게 하는 변분 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 이 방법은 소스 표면의 LB 고유계산을 등각 변형된 타겟 표면과 정렬하는 변분 모델을 수립하며, 등각 인자와 변형된 고유함수를 동시에 최적화한다.
• 비볼록 최적화 문제를 해결하기 위해 프록시멀 교대 최소화(PAM) 알고리즘과 보완 라그랑주 방법을 융합한 알고리즘을 사용한다.
• 알고리즘은 등각 인자를 등각 인자 다양체 위에서 BFGS를 사용해 최적화하고, 변형된 고유함수를 정규직선 검색을 통해 옥스포럴 다양체 위에서 업데이트하는 방식으로 번갈아가며 수행된다.
• 등각 인자와 LB 스펙트럼 사이의 내재적 연관성을 활용하여, 스펙트럼 정렬을 통해 간접적으로 등각 사상 계산을 수행한다.
• 비볼록성으로 인한 수렴 문제를 완화하기 위해 재초기화 기법을 도입한다.
• 이론적 수렴성은 커페르다-로자시에프스키(Kurdyka-Lojasiewicz, KL) 조건에 의해 지지되며, 알고리즘의 국소 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등장성 표면을 등각 변형을 통해 라플라스-벨트라미(LB) 고유계산을 정렬함으로써 변분 모델을 설계할 수 있는가?
• RQ2 등각 인자와 변형된 고유함수를 동시에 최적화하여 정확한 점 대 점 대응을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 얼마나 큰 변형, 노이즈, 지점의 편향을 처리할 수 있는가?
• RQ4 명시적인 표면 간 등각 사상 계산 없이도 강력하고 정확한 정렬을 달성할 수 있는가?
• RQ5 비볼록 최적화 문제 상황에서 제안된 알고리즘이 국소 수렴하는가?

주요 결과

• 말에서 코끼리로의 변형이 심한 형태에서도 높은 정확도의 점 대 점 대응을 달성하였으며, 지오데식 오차는 참값과 유사하다.
• 표면의 법선 방향 노이즈에 대해서도 알고리즘이 강건하여, 심한 노이즈 수준에서도 낮은 지오데식 오차를 유지한다.
• 지점의 편향이 효과적으로 완화되었으며, 지점의 100%가 편향된 경우에도 최종 매핑 오차는 낮게 유지된다.
• Faust 벤치마크 데이터셋에서, 랜덤 쌍과 최소 등장성 쌍 모두에 대해 평균 지오데식 오차가 일관되게 낮게 유지되었으며, 더 어려운 쌍의 결과는 더 쉬운 쌍과 거의 유사한 성능을 보였다.
• 재초기화 기법은 비볼록 최적화에서 수렴 안정성을 크게 향상시켜 복잡한 형태 쌍에 대해 신뢰할 수 있는 성능을 가능하게 했다.
• 이론적 분석은 커페르다-로자시에프스키(Kurdyka-Lojasiewicz, KL) 조건을 통해 국소 수렴을 확인하였으며, 알고리즘의 신뢰성을 뒷받침한다.