[논문 리뷰] Nonisothermal nematic liquid crystal flows with the Ball--Majumdar free energy

Eduard Feireisl, Elisabetta Rocca외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비정상온 3차원 난류 액정 유동 모델에 대해, 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 볼-마주드르 자유에너지 하에서 Q-텐서에 대한 비선형 포아송 방정식을 연결한 모델에서 전역 약한 해의 존재를 확립한다. 모델은 Q에서의 특이성과 온도에서의 비가역성을 유도하는 특이적이고 물리적으로 타당한 잠재력이 포함되어 있으며, 이는 잠재력의 로그적 폭발 비율과 운반 계수의 거듭제곱 성장 가정 하에서 에너지 추정을 통해 해결된다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of global in time weak solutions for an evolutionary PDE system modelling nonisothermal Landau-de Gennes nematic liquid crystal (LC) flows in three dimensions of space. In our model, the incompressible Navier-Stokes system for the macroscopic velocity $\vu$ is coupled to a nonlinear convective parabolic equation describing the evolution of the Q-tensor $\QQ$, namely a tensor-valued variable representing the normalized second order moments of the probability distribution function of the LC molecules. The effects of the (absolute) temperature $\vt$ are prescribed in the form of an energy balance identity complemented with a global entropy production inequality. Compared to previous contributions, we can consider here the physically realistic singular configuration potential $f$ introduced by Ball and Majumdar. This potential gives rise to severe mathematical difficulties since it introduces, in the Q-tensor equation, a term which is at the same time singular in $\QQ$ and degenerate in $\vt$. To treat it a careful analysis of the properties of $f$, particularly of its blow-up rate, is carried out.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 물리적으로 타당한 볼-마주드르 자유에너지가 포함된 비정상온 난류 액정 유동 모델에 대해 전역 약한 해의 존재를 확립하는 것.
• Q의 정의역 경계에 접근할수록 로그적으로 폭발하는 특이적이고 비가역적인 성질을 지닌 볼-마주드르 잠재력이 유도하는 수학적 과제를 다루는 것.
• 온도 의존 효과와 Q-텐서 기울기를 통한 경계 에너지를 고려한 에너지 및 엔트로피 균형의 프레임워크를 개발하는 것.
• 온도에서의 비가역성(ϑ > 0 거의 모든 곳에서, inf ϑ가 0일 수 있음)과 Q-텐서 진화에서의 특이성을 정교한 사전 추정을 통해 다루는 것.
• 전체 에너지 보존 법칙과 약한 엔트로피 부등식을 사용하여 열역학 원칙을 유지함으로써 표준 열역학 방정식의 대체를 위한 것.

제안 방법

• 유체 속도 u에 대한 비압축성 나비에-스토크스 방정식, Q-텐서 Q에 대한 비선형 대류형 포아송 방정식, 그리고 엔트로피 부등식을 포함한 에너지 균형을 포함하는 연립 PDE 시스템으로 문제를 수립한다.
• 볼-마주드르 자유에너지 ψB(ϑ, Q) = ϑf(Q) + G(Q)를 사용하며, 여기서 f(Q)는 물리적 Q-텐서 정의역에서 정의된 볼록이고 특이한 자유에너지 함수로, 경계에서 로그적 폭발을 보인다.
• 표준 열역학 방정식을 대체하기 위해 총 에너지 보존 법칙과 약한 엔트로피 부등식을 도입하여 속도의 제곱항으로 인한 수학적 비가역성을 피한다.
• 큰 온도 또는 극한 Q 구성에서의 잠재력 f(Q)의 행동을 분석하기 위해 라플라스의 점근적 방법을 적용한다.
• 열전도도, 비열 및 회전 viscoity에 대한 거듭제곱 성장 조건을 도입하여 컴팩턴스 추론에 필요한 충분한 사전 추정치를 확보한다.
• 기술적 복잡성을 줄이고 압력이 에너지 균형에서 미지 변수로 간주될 수 있도록 주기적 경계 조건을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적으로 타당한 볼-마주드르 특이 잠재력이 포함된 비정상온 난류 액정 모델에 대해 전역 약한 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 Q에서의 조합적 특이성과 ϑ에서의 비가역성은 어떻게 수학적으로 다루어져야 하며, 균일한 사전 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ3 f(Q)의 로그적 폭발 비율은 에너지 및 엔트로피 추정치 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 표준 열역학 방정식이 보존 법칙으로 대체될 경우, 에너지 및 엔트로피 균형은 어떻게 일관되게 구성할 수 있는가?
• RQ5 특이성과 비가역성을 다루기 위해 Q-텐서 방정식에서 필요한 운반 계수의 성장 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 3차원에서 볼-마주드르 자유에너지가 포함된 비정상온 난류 액정 유동 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해의 존재를 증명한다.
• 해는 통합된 (공간-시간 기반) 형태로 에너지 균형과 엔트로피 부등식을 만족하며, 이는 국소적 부등식이 아닌 전역 균형을 반영한다.
• 특이 잠재력 f(Q)는 Q의 어떤 고유값도 -1/3에 접근할수록 로그적으로 폭발함을 보이며, 이는 사전 추정치 유도에 핵심적으로 활용된다.
• 열전도도, 비열 및 회전 점성도에 대한 거듭제곱 성장 가정 하에서, 온도의 비가역성(ϑ > 0 거의 모든 곳에서)과 Q의 특이성을 관리할 수 있음을 분석이 입증한다.
• 압력이 에너지 균형에 명시적으로 나타나는 문제를 주기적 경계 조건과 압력의 미지 변수로서의 정밀한 제어를 통해 성공적으로 다룬다.
• 라플라스의 점근적 분석을 통해 큰 온도 또는 극한 Q 구성에서 잠재력 관련 적분의 유계성을 확인하였으며, 이는 추정치의 타당성을 보장한다.