[논문 리뷰] Nonlinear analysis of forced mechanical systems with internal resonance using spectral submanifolds, Part I: Periodic response and forced response curve

Mingwu Li, Shobhit Jain외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 09.

Bladed Disk Vibration Dynamics참고 문헌 58인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 내부 공진을 가진 고차원 비선형 기계 시스템에서 주기적 응답과 강제 응답 곡선(FRCs)을 효율적으로 계산하기 위해 스펙트럼 부분다양체(SSMs)를 사용하는 축소 차원 모델링 프레임워크를 제시한다. 공진 모드와 관련된 이중차원 SSM에 시스템 역학을 투영함으로써, FRC 계산을 축소 모델의 평형점에 대한 계속성 문제로 전환시켜, 바르트만-카르만 빔과 판과 같은 시스템에서 복잡한 비선형 역학을 정확하고 계산 비용이 적게 들도록 추출할 수 있다.

ABSTRACT

We show how spectral submanifold theory can be used to construct reduced-order models for harmonically excited mechanical systems with internal resonances. Efficient calculations of periodic and quasi-periodic responses with the reduced-order models are discussed in this paper and its companion, Part II, respectively. The dimension of a reduced-order model is determined by the number of modes involved in the internal resonance, independently of the dimension of the full system. The periodic responses of the full system are obtained as equilibria of the reduced-order model on spectral submanifolds. The forced response curve of periodic orbits then becomes a manifold of equilibria, which can be easily extracted using parameter continuation. To demonstrate the effectiveness and efficiency of the reduction, we compute the forced response curves of several high-dimensional nonlinear mechanical systems, including the finite-element models of a von Kármán beam and a plate.

연구 동기 및 목표

• 내부 공진이 있는 고차원 기계 시스템에서 주기적 응답과 강제 응답 곡선(FRCs)을 계산하는 데 있어 계산 비용이 적은 방법을 개발하기 위해.
• 대규모 유한요소 모델에서 전통적인 수치적 방법(예: 직접 통합, 콜로케이션, 조화 균형)의 금방 뛰어나게 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 스펙트럼 부분다양체-SSM 이론을 활용하여, 전체 시스템 크기와는 무관하게 공진 모드의 수에 의해 결정되는 차원만을 갖는 축소 모델을 구축하기 위해.
• SSM 기반의 계속성 기반 파arameter continuation을 통해 FRC 추출을 정확하게 수행하고, 고립점과 같은 복잡한 비선형 현상까지 포괄하기 위해.
• 바르트만-카르만 빔과 판과 같은 고차원 시스템에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 공진 모드 부분공간과 관련된 스펙트럼 부분다양체-SSM을 식별함으로써 축소 모델을 구성한다. 이는 원점에서 선형 모드 부분공간에 탄젠트인 가장 부드러운 불변 다양체이다.
• 전체 시스템의 주기적 응답은 SSM 상에서 축소 모델의 평형점으로 식별되며, 이는 수치적 계속성 기반으로 효율적으로 계산할 수 있다.
• 강제 응답 곡선(FRC)은 축소 모델 내 평형점의 다양체로 얻어지며, COCO 소프트웨어의 경로추적 알고리즘을 사용해 추적된다.
• 이 접근법은 COCO 내에서 atlas-1d 및 atlas-kd 알고리즘을 사용한 파arameter 계속성 기반으로 구현되며, 고차원 문제를 다룰 수 있도록 맞춤형 계속성 파aram터를 설정한다.
• 메쉬 적응 및 오차 제어(MXCL)는 안정성과 정확도를 유지하기 위해 비활성화되거나 신중하게 관리되며, 특히 큰 변형이 발생하는 경우에 유의미하다.
• 이 방법은 바르트만-카르만 빔, 판, 티모셴코 빔의 유한요소 모델을 대상으로 검증되었으며, 다양한 계속성 설정과 메쉬 구성에서의 결과를 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 부분다양체-SSM는 내부 공진이 있는 고차원 기계 시스템의 본질적인 비선형 역학을 유지하는 축소 모델을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 내부 공진이 있는 비선형 시스템의 강제 응답 곡선(FRC)을 SSM 기반 축소 모델을 사용해 효율적이고 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 대규모 시스템에 대해 전통적 방법(예: 직접 통합, 콜로케이션, 조화 균형)에 비해 SSM 기반 축소의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ4 계속성 파aram터와 수치 설정(예: 스텝 크기, 잔차 허용 오차)은 고차원 SSM 기반 축소 모델에서 FRC 계산의 정확도와 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 SSM 기반 축소는 고립점, 포화 현상, 에너지 전이와 같은 복잡한 비선형 현상을 어느 정도 정확하게 포착할 수 있는가?

주요 결과

• SSM 기반 축소 모델은 FRC를 평형점의 다양체로 효율적으로 계산할 수 있으며, 이는 전체 시스템 방법에 비해 훨씬 낮은 계산 비용으로 수치적 계속성을 통해 추적된다.
• 20개 요소(58 자유도)를 가진 바르트만-카르만 빔의 경우, atlas-1d를 사용해 약 6.5시간 내에 FRC를 계산하였으며, 최대 계속성 스텝 크기가 약 30에 이르러 기본값인 0.5를 크게 초월하였다.
• 티모셴코 빔 예제에서는 최대 계속성 스텝 크기가 900을 초월하여, 큰 변형이 발생하는 상황에서도 고차원 계속성에서의 강건성을 입증하였다.
• 바르트만-카르만 판 예제에서는 atlas-kd를 사용해 약 11시간 내에 FRC를 500개 점으로 생성하였으며, 예측의 최대 잔차가 10에 도달하여 고차원 비선형성의 효과적인 처리를 보였다.
• atlas-kd 실행에서 최대 잔차를 100으로 증가시킨 경우, 약 6시간 내에 107개 점의 FRC를 계산하였으며, 큰 스텝 크기를 허용할 경우 atlas-1d와 atlas-kd 간의 계산 시간이 유사함을 보여주었다.
• 이 방법은 내부 공진이 있는 시스템에서 고립점과 주파수 안정화와 같은 복잡한 비선형 역학을 성공적으로 포착하였으며, 복잡한 모드 상호작용을 모델링할 수 있음을 검증하였다.