[논문 리뷰] Nonlinear boundary problem for Harmonic functions in higher dimensional Euclidean half-spaces

Marcelo F. de Almeida, Lidiane S. M. Lima|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 11.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차원 반공간에서 조화 함수에 대한 비선형 뉴먼 경계 문제에 양해를 가진 해의 존재성을 약한-모리 공간 기반의 새로운 프레임워크를 통해 확립한다. 적절한 가속성 조건 하에, $ n/(n-1) < \rho < \infty $ 인 경우 약한-모리 공간에 속하는 특이한 자료 $ f $ 와 잠재력 $ V $ 에 대해, 이들 공간에서의 해 존재성을 보이며, 이는 이전에 알려진 반라플라시안 문제에 대한 결과를 복원하고 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we are interested on solvability of the problem \begin{align*} \begin{cases} -Δu=0 &amp; ext{in} \;\;\;\mathbb{R}^{n+1}_{+}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial ν}} = V(x)u+b \vert u\vert^{ρ-1}u+f \; &amp; ext{on} \;\;\partial\mathbb{R}^{n+1}_+\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, \end{cases} \end{align*} %Laplace equation in the upper half-space with nonlinear Neumann boundary with high singular data $f$ and potential $V$ on boundary $\partial\mathbb{R}^{n+1}_+$ of half-space $ \mathbb{R}^{n+1}_{+}=\{(x,t)\in\mathbb{R}^{n+1}\,\vert\, t&gt;0\}$ for $n\geq 2$. More precisely, inspired at \cite{deAlmeida1} and \cite{Quittner} we introduce a new functional space based in weak-Morrey spaces and we shown existence of positive solutions $u$ to the above problem when inhomogeneous term $f\in ext{weak-}\mathcal{M}_{p}^{n{(ρ-1)}/ρ}(\mathbb{R}^{n})$ and potential $V\in ext{week-}\mathcal{M}^{n}_{\ell}(\mathbb{R}^{n})$ are sufficiently small in the natural $n/(n-1)

연구 동기 및 목표

• 고전적 레베그 또는 모리 공간보다 더 넓은 약한-모리 공간에 속하는 거친 자료를 가진 $ \mathbb{R}^{n+1}_+ $ 에서 조화 함수에 대한 비선형 경계값 문제의 잘 정의됨을 확립한다.
• 비균일항 $ f $ 와 잠재력 $ V $ 가 약한-모리 공간에 속할 경우, 해 존재성 결과를 확장한다.
• 비선형성 지수 $ \rho $ 에 대해 범위 $ (n+1)/(n-1) \leq \rho < \infty $ 를 복원하고, 이는 이전 결과를 초월한다.
• Campanato의 보조정리에 의해, $ f $ 와 $ V $ 가 거칠더라도 해가 국소적으로 허더 연속임을 보인다.
• 디리클레-뉴먼 맵을 통해 국소 문제와 비국소 반라플라시안 방정식을 연결한다.

제안 방법

• 비균일 도메인에서 경계값과 기울기의 적분 가능성을 다루기 위해 새로운 바나흐 공간 $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 을 도입한다.
• 해의 연산자 $ \Psi(u) = \mathbf{S}f + \mathcal{T}_V(u) + \mathcal{B}(u) $ 를 정의하며, 단일층 잠재력, 잠재력 항, 비선형 항을 포함한다.
• 약한-모리 노름과 분수 최대함수를 이용한 추정을 통해 비선형 항과 잠재력 항을 제어하고, $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 에서 수축 사상 원리를 적용한다. 이때 $ \|V\|_{\mathcal{M}^{n}_{\ell,\infty}} < 1 $ 이고 $ \|f\|_{\mathcal{M}^{\omega}_{p,\infty}} $ 가 작을 경우 성립한다.
• 반라플라시안과 디리클레-뉴먼 맵 간의 관계를 활용하여 국소 문제와 비국소 방정식을 연결한다.
• Campanato의 보조정리를 적용하여 해 $ u \in C^{0,\alpha}_{\text{loc}}(\overline{\mathbb{R}^{n+1}_+}) $ 의 국소 허더 연속성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 알려진 바보다 더 거친 자료를 가진 비선형 뉴먼 문제에 대해, 해 존재 범위를 확장할 수 있는가?
• RQ2 비균일항 $ f $ 와 잠재력 $ V $ 가 약한-모리 공간에 속할 경우, 어떤 함수 공간 프레임워크가 해 존재성을 보장하는가?
• RQ3 비선형 뉴먼 자료를 가진 국소 조화 문제의 해가 비국소 반라플라시안 방정식의 해와 대응되는가?
• RQ4 약한-모리 공간의 사용이 비선형성 $ |u|^{\rho-1}u $ 에서 허용 가능한 지수 $ \rho $ 의 범위를 어떻게 개선하는가?
• RQ5 해의 국소 허더 연속성을 $ f $ 와 $ V $ 의 최소한의 적분 가능성 조건 하에서 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ \|f\|_{\mathcal{M}^{n(\rho-1)/\rho}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n)} \leq \varepsilon/C $ 이고 $ \|V\|_{\mathcal{M}^n_{\ell,\infty}(\mathbb{R}^n)} < 1 $ 이면, 논문은 비선형 뉴먼 문제에 대해 양해를 가진 해 $ u \in X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 의 존재성을 증명한다.
• 해는 국소적으로 허더 연속적이다: $ u \in C^{0,\alpha}_{\text{loc}}(\overline{\mathbb{R}^{n+1}_+}) $, Campanato의 보조정리를 통해 증명된다.
• 이 방법은 이전에 고전적 함수 공간으로는 접근할 수 없었던 날카로운 범위 $ (n+1)/(n-1) \leq \rho < \infty $ 를 복원한다.
• 해 프레임워크는 비국소 반라플라시안 문제 $ (-\Delta)^{1/2}v = Vv + b|v|^{\rho-1}v + f $ 에도 확장되며, $ f $ 와 $ V $ 가 $ L^\lambda $ 보다 더 약한 공간에 속할 수 있다.
• $ 1 < p < \lambda < \infty $ 에 대해 $ L^\lambda \subset \mathcal{M}^\lambda_p \subset \text{약한-}\mathcal{M}^\lambda_p $ 의 포함 체인은 이전에 고려된 바보다 더 거친 자료를 허용한다.
• 수축 사상 원리에 의해 바나흐 공간 $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 의 작은 구내에서 해의 유일성이 보장된다.