[논문 리뷰] Nonlinear contractions in metric spaces under locally T-transitive binary relations

Aftab Alam, Mohammad Imdad|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 26.

Fixed Point Theorems Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 T-전이성인 이진관계를 지닌 거리공간에서 비선형 수축에 대한 고정점 정리를 수립하며, Boyd-Wong 및 Jocić 정리의 일반화이다. T-닫힘성, 국소 T-전이성 및 φ-수축 조건을 포함하는 조건 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 증명하여, 보편적인 관계가 아닌 경우에도 적용 가능한 관계 이론적 고정점 이론의 결과를 넓히고 있다.

ABSTRACT

In this paper, we present a variant of Boyd-Wong fixed point theorem in a metric space equipped with a locally T-transitive binary relation, which under universal relation reduces to Boyd-Wong (Proc. Amer. Math. Soc. 20 (1969) 458-464) and Jotic (Indian J. Pure Appl. Math. 26 (1995) 947-952) fixed point theorems. Also, our results extend several other well-known fixed point theorems such as: Alam and Imdad (J. Fixed Point Theory Appl. 17 (4) (2015) 693-702) and Karapinar and Roldan-Lopez-de-Hierro (J. Inequal. Appl. 2014:522 (2014) 12 pp) besides some others.

연구 동기 및 목표

• 국소 T-전이성인 이진관계를 도입하여 거리공간 내에서 Boyd-Wong 및 Jocić 고정점 정리를 일반화한다.
• 기존의 관계 이론적 고정점 정리에서 전이성 또는 완비성 조건을 약화시킨다.
• Alam과 Imdad(2015), Karapinar와 Roldan-Lopez-de-Hierro(2014) 등의 결과를 통합하고 확장하기 위해 공통 프레임워크를 수립한다.
• 연속성 또는 전역 전이성을 가정하지 않고도 자기사상이 고유한 고정점을 가질 수 있는 조건을 확립한다.
• 국소 T-전이성이 T-닫힘성 및 φ-수축과 결합될 경우 수렴을 보장함을 보여주며, 이는 국소 전이성으로도 충분함을 밝힌다.

제안 방법

• 국소 T-전이성인 이진관계의 개념을 도입하여, 유한한 경로를 통해 점들을 연결할 수 있도록 전이성의 일반화를 제공한다.
• 이진관계의 T-닫힘성을 정의하여, (x,y) ∈ R 이면 (Tx,Ty) ∈ R 임을 보장함으로써, 사상에 의해 관계가 유지됨을 보장한다.
• 제어 함수 φ ∈ Φ를 사용하여 φ-수축을 정의한다. 여기서 φ(t) < t for all t > 0 이고 lim_{r→t⁺} φ(r) < t 이다. 즉, d(Tx,Ty) ≤ φ(d(x,y)) 를 관련된 x,y에 대해 만족한다.
• T(X) 내의 유한한 R^s-연결 경로를 기반으로 한 추론을 통해, 반복의 거리가 0으로 수렴함을 보인다.
• 길이 k인 유한한 경로에 대해 삼각부등식을 적용하여 d(x,y)를 d(T^n z_i, T^n z_{i+1}) 항들의 합으로 bound한다.
• 귀납법과 φ(t_n^i) < t_n^i 성질을 이용하여, 각 항이 n → ∞ 일 때 0으로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Boyd-Wong 고정점 정리는 전이성 또는 보편적이지 않은 이진관계를 지닌 거리공간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 연속성을 가정하지 않고도 φ-수축에 대해 고정점의 존재성을 보장하기 위해 필요한 이진관계의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 국소 T-전이성은 전역 전이성 또는 완비성과 비교하여 반복 수렴을 보장하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ4 T-닫힘성과 국소 T-전이성이 동시에 고정점의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 결과들은 Jocić 또는 Nieto-Rodríguez-López의 정리들을 통합된 프레임워크 하에서 특수화하여 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 T가 완비 거리공간에서 자기사상이며, 국소 T-전이성인 이진관계 R을 지닐 때, T가 R-연속적이며 φ-수축적이라면 T는 고정점을 가짐을 증명한다.
• 이미지 T(X)가 R^s-연결되어 있으면 고정점의 유일성이 보장되며, 이는 R|_T(X)가 완비이거나 T(X)가 R^s-지향적일 경우 성립한다.
• R가 보편관계 X²일 경우 결과는 고전적 Boyd-Wong 정리로 축소된다.
• R가 부분순서일 경우, T가 증가적이고 공간이 ICU 성질을 지닐 때, 결과는 Nieto와 Rodríguez-López(2005)의 정리 1.3을 일반화한다.
• 증명은 임의의 두 고정점 x와 y에 대해, R^s 내의 유한한 경로를 따라 d(x,y)가 반복에 의해 0으로 수렴함을 보이며, 이는 x = y 를 의미한다.
• 저자들은 국소 T-전이성이 비선형 수축의 경우 필수적임을 보여주며, T-닫힘성만으로는 이와 같은 결과를 도출하기에 부족함을 입증한다.