[논문 리뷰] Nonlinear Dirac equations and nonlinear gauge transformations

H. D. Doebner, Renat Zhdanov|ArXiv.org|2003. 04. 25.

Geophysics and Sensor Technology인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소성, 분리 가능성, 파울리 인버리언스 및 위치 밀도 불변성을 유지하는 비선형 게이지 변환의 군을 통해 비선형 디랙 방정식(NLDEs)의 가족을 유도한다. 주요 기여는 선형 디랙 방정식의 '게이지 확장'으로, 선형성에서 최소한의 편차를 보이며 물리적으로 유의미한 비선형 수정을 가진 방정식을 도출함으로써 표준 양자역학을 초월한 비선형 양자역학의 탐색을 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Nonlinear Dirac equations (NLDE) are derived through a group N^2 of nonlinear (gauge) transformation acting in the corresponding state space. The construction generalises a construction for nonlinear Schrödinger equations. To relate N^2 with physically motivated principles we assume: locality (i.e. it contains no explicit derivative and no derivatives of the wave function), separability (i.e. it acts on product states componentwise) and Poincaré invariance. Furthermore we want that a positional density is invariant under N^2. Such nonlinear transformations yield NLDE which describe physically equivalent systems. To get 'new' systems, we extend this NLDE (gauge extension) and present a family of NLDE which is a slight nonlinear generalisation of the Dirac equation. We discuss and comment the fact that nonlinear evolutions are not consistent with the usual framework of quantum theory. To develop a corresponding extended framework one needs models for nonlinear evolutions which also indicate possible physical consequences of nonlinearities.

연구 동기 및 목표

• 비선형 변환을 통해 선형 디랙 방정식을 일반화하여 비선형 양자역학의 물리적으로 일관된 프레임워크를 개발한다.
• 비선형 방정식이 국소성, 분리 가능성, 파울리 인버리언스 및 위치 밀도 불변성과 같은 기본 물리 원리를 존중하도록 보장한다.
• 선형 디랙 방정식의 '게이지 확장'을 구성하여 선형 경우와 동치가 아니며 물리적으로 관련된 새로운 비선형 디랙 방정식을 도출한다.
• 정밀도 실험에서 선형성의 측정 가능한 이심을 유도할 수 있는 비선형 진화를 포함하는 양자이론의 확장을 위한 기초를 제공한다.

제안 방법

• 스핀론 파동함수 $\psi$ 위에 작용하는 비선형이고 가역적인 변환의 군 $\mathfrak{N}^2$을 구성한다. 구성별 곱셈을 통해 $N\psi = N(\psi)\psi$로 정의되며, 국소성과 분리 가능성을 보장한다.
• 파울리 인버리언스와 밀도 불변성을 도입하여 허용 가능한 비선형성의 범주를 물리적으로 타당한 변환로 제한한다.
• 비선형 디랙 연산자 $\mathbb{D}_D^N = \mathbb{D}_D N$를 도출함으로써 변환된 파동함수 $\psi'$에 대한 비선형 진화 방정식 $\mathbb{D}_D^N \psi' = 0$를 유도한다.
• 해밀토니안 $H_{2,ex}(X,Y)$에 비선형 항을 포함시키는 게이지 확장을 도입함으로써 국소성과 파울리 인버리언스를 유지한다.
• 구조 $H_{2,ex}(X,Y) = (\gamma_\mu p^\mu X)ig(X) + (\gamma_\mu p^\mu Z)(ik(Z) + l(Z)\gamma_5) - m\exp(2n(Z))\gamma_5$를 사용하여 확장된 가족 $\mathcal{F}^{ex}_2$를 정의한다.
• 확장된 가족 $\mathcal{F}^{ex}_2$가 선형 가족 $\mathcal{F}_0$와 동치가 아니며, 물리적 일관성을 유지하기 위해 '약한' 비선형 편차를 유지하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소성, 분리 가능성 및 파울리 인버리언스와 같은 물리적으로 타당한 원리로부터 비선형 디랙 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 비선형 게이지 변환를 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 양자 시스템의 물리적 동치성을 유지하면서도 새로운 비선형 역학을 도출할 수 있는가?
• RQ3 상대론적 인버리언스와 국소적 진화를 유지하는 비선형 확장된 디랙 방정식의 구조는 어떠한가?
• RQ4 이러한 비선형 방정식은 정밀도 실험에서 선형 양자역학으로부터 측정 가능한 이심을 유도할 수 있는가?
• RQ5 비상대론적 근사에서 비선형 디랙 방정식은 비상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 국소성, 분리 가능성, 파울리 인버리언스 및 위치 밀도 불변성을 유지하는 비선형 게이지 변환를 통해 비선형 디랙 방정식 $\mathcal{F}_2^{ex}$의 가족이 구성된다.
• 확장된 가족 $\mathcal{F}_2^{ex}$는 비선형 함수 $g(X)$, $k(Z)$, $l(Z)$, $n(Z)$에 명시적인 의존성을 가지는 해밀토니안 $H_{2,ex}(X,Y)$로 정의되며, 국소적이고 상대론적으로 불변한 역학을 보장한다.
• 유도된 방정식들은 선형 디랙 방정식 $\mathcal{F}_0$와 동치가 아니지만, '약한' 비선형 수정만을 보이며 실험적 한계와의 일관성을 시사한다.
• 이 구성은 원칙에서부터 물리적으로 타당한 비선형 디랙 방정식을 체계적으로 생성하는 방법을 제공하며, 선형 프레임워크를 통제 가능한 방식으로 확장한다.
• 해밀토니안 $H_{2,ex}$의 비선형 항에는 $\psi$의 두 번째 도함수가 포함되어 있지 않으며, 이는 비상대론적 근사에서 $\mathcal{F}_2^{ex}$가 도함수 의존 변환을 포함하지 않는 한 표준 비선형 슈뢰딩거 방정식을 자연스럽게 유도하지 않는다는 것을 의미한다.
• 이 프레임워크는 일관된 비선형 양자이론이 동적 원리로부터 구축되어야 하며, 비선형성의 구조가 확장된 양자 형식주의의 형태를 규정해야 한다고 시사한다.