[논문 리뷰] Nonlinear discrete-time quantum walk and anomalous diffusion

Tatsuaki Wada, Yutaka Shikano|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 선형이 아닌 피드포워드 양자 동전 모델을 선형에서의 이산 시간 양자 산책에 제안하며, 이는 이전 단계의 동전 상태에 따라 동전 연산이 달라지는 것을 특징으로 한다. 기존의 양자 산책이 궤도 운동을 보이는 것과는 달리, 이 모델은 다공성 매질 방정정식에 의해 지배되는 이국적인 느린 확산을 유도하며, 비선형적 이산-연속 대응을 갖는 새로운 종류의 양자 역학적 행동 양식을 드러낸다.

ABSTRACT

Constructing a discrete model like a cellular automaton is a powerful method for understanding various dynamical systems. However, the relationship between the discrete model and its continuous analogue is, in general, nontrivial. As a quantum-mechanical cellular automaton, a discrete-time quantum walk is defined to include various quantum dynamical behavior. Here we generalize a discrete-time quantum walk on a line into the feed-forward quantum coin model, which depends on the coin state of the previous step. We show that our proposed model has an anomalous slow diffusion characterized by the porous-medium equation, while the conventional discrete-time quantum walk model shows ballistic transport.

연구 동기 및 목표

• 이슬라임의 이산 양자 산책 모델과 그 연속적 대응체 간의 관계를 탐구하며, 특히 비정상적인 역학적 영역에서의 행동을 다루는 것.
• 기본적으로 궤도 운동을 보이는 것과는 달리, 이국적인 확산을 보이는 이산 시간 양자 산책 모델의 부족을 보완하는 것.
• 이전 동전 상태에 따라 동전 연산이 달라지는 피드포워드 메커니즘을 도입함으로써 이산 시간 양자 산책을 일반화하는 것.
• 이러한 비선형 피드백이 동전 진화 과정에서 발생할 경우, 고전적인 다공성 매질 역학과 유사한 확산 행동을 유도할 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• 표준 이산 시간 양자 산책을 일반화하기 위해, 동전 연산을 이전 시간 단계의 동전 상태에 의존하게 하여 비선형성을 도입한다.
• 동전 진화는 현재 동전 상태가 이전 동전 상태의 함수에 의해 결정되는 피드포워드 규칙을 따르며, 기억에 의존하는 역학을 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변하는 동전 연산자를 포함한 유니터리 진화로, 일차원 격자에서 시스템을 시뮬레이션한다.
• 확률 분포를 분석하여 운반 행동, 특히 시간에 따른 두 번째 모멘트의 스케일링을 확인한다.
• 모델의 연속 근사와 다공성 매질 방정식을 비교하여 이국적 확산 영역임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 시간 양자 산책의 동전 연산에 피드포워드 의존성을 도입할 경우, 운반 성질은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 비선형 이산 양자 산책 모델이 궤도 운동 대신 이국적 확산을 나타낼 수 있는가?
• RQ3 제안된 비선형 양자 산책 모델의 연속적 대응체는 무엇이며, 기존의 알려진 비선형 확산 방정식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비선형 피드백 메커니즘이 기존의 표준 양자 산책과 근본적으로 다른 동역학적 영역을 유도하는가?

주요 결과

• 제안된 비선형 피드포워드 양자 산책 모델은 시간에 따라 두 번째 모멘트의 부분 궤도 스케일링을 보이는 이국적 느린 확산을 나타낸다.
• 연속 근사에서 확산 행동은 다공성 매질 방정식으로 기술되며, 비선형 확산 과정임을 나타낸다.
• 기존의 이산 시간 양자 산책이 궤도 운동(두 번째 모멘트가 t² 비례)을 보이는 것과는 달리, 새로운 모델은 두 번째 모멘트가 t^α 비례로 스케일링되며 α < 2임을 보이며, 부분확산 역학을 나타낸다.
• 비선형 피드백은 표준 양자 산책의 선형성과 시간 이동 불변성을 깨뜨리므로, 이국적 확산을 유도하는 데 필수적이다.